导数的应用--公切线问题 高频考点 专题练 2026年高考数学一轮复习备考

中小学教育资源及组卷应用平台 导数的应用--公切线问题 高频考点 专题练 2026年高考数学一轮复习备考 一、单选题 1．函数和的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则这条切线的方程为（ ） A． B． C． D． 2．曲线与的公切线的斜率为（ ） A． B． C． D． 3．已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ） A． B． C． D． 4．已知函数，，若过点的直线与曲线和均相切，则实数的值为（ ） A． B． C．1 D．2 5．已知，则与的公切线有（ ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 6．若直线与函数和的图象分别相切于点，则（ ） A．2 B． C． D． 7．函数与函数公切线的纵截距为（ ） A．1或0 B．-1或0 C．1或 D．-1或 8．已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若两曲线与存在公切线，则正实数的取值可能是（ ） A． B． C． D． 10．已知函数，，，是和的图象的两个交点，则下列说法正确的是（ ） A．若函数，则在上单调递增，在上单调递减 B．实数的取值范围是 C．曲线与曲线始终有两条公切线 D．直线的斜率大于4 11．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，解决相关的问题，已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．当时， B．若函数存在两个零点，且，则 C．若恒成立，则 D．当时，与存在两条公切线 三、填空题 12．与曲线和都相切的直线l的方程为 . 13．已知函数，，存在直线过点与曲线和都相切，则 ． 14．已知曲线与曲线交于点，直线与曲线切于点，与曲线切于点，则的面积为 . 15．曲线与曲线的公切线方程为 ． 16．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 17．曲线与曲线的公切线方程为 . 四、解答题 18．已知函数，.证明：和的图象有两条公切线. 19．已知函数，.求证：直线既是曲线的切线，也是曲线的切线. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C C C C B B ABD ACD 题号 11 答案 ACD 1．D 【分析】设切点P的横坐标为（），先根据导数几何意义列方程组，可得，再根据导数求其单调性，根据单调性确定其解，最后根据点斜式求切线方程. 【详解】由，， 则，， 设切点P的横坐标为（），则根据题意可得， 得，即， 设，， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，又， 所以方程有唯一解， 所以切点P坐标为，切线斜率， 则切线方程为. 故选：D. 2．A 【分析】根据导数的几何意义分别求的切线，结合题意列式求解即可. 【详解】因为，则， 设切点坐标为，切线斜率为， 可得切线方程为，即； 因为，则， 设切点坐标为，切线斜率为， 可得切线方程为，即； 由题意可得：，解得， 所以公切线的斜率为. 故选：A. 3．C 【分析】设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为，利用导数求出曲线在处的切线方程，以及曲线在处的切线方程，根据两切线重合可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出、的值，即可得解. 【详解】设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为， 对函数求导得，对函数求导得， 则曲线在处的切线方程为，即， 曲线在处的切线方程为， 即， 所以，解得， 故，，所以． 故选：C． 4．C 【分析】设出切点，求导，根据点斜式求解切线的方程，即可根据公切线得，构造函数，求导即可得解. 【详解】设直线与图象相切的切点为， 由，则切线斜率为， 切线方程为，即， 又，且，即， 所以过点与曲线相切的直线方程为， 联立解得，所以， 设, 当单调递增，当单调递减，所以，故，当且仅当时取等号， 故由得，所以. 故选：C 5．C 【分析】函数已知，可设切点表达切线方程，公切线满足两函数的切线斜率和截 ... ...