(
课件网) 6.3.2 二项式系数的性质 第六章 2026 内容索引 01 02 03 自主预习 新知导学 合作探究 释疑解惑 随堂练习 课标定位素养阐释 1.能运用赋值法和函数思想分析处理二项式系数的性质问题. 2.理解和掌握二项式系数的性质,会求解与二项式系数有关的问题. 3.通过该节的学习,养成利用函数思想分析问题、解决问题的习惯,进一步培养观察归纳、逻辑推理的思维能力. 自主预习 新知导学 二项式系数的性质 1.观察图形,发现规律: (a+b)n的展开式的二次项系数,当n取正整数时可以 表示的形式如图所示: 图① 图② (1)每一行中,与首末两端等距离的二项式系数有怎样的关系 (2)二项式系数的最大值有何规律 (3)第一行中各数之和为多少 第二、三、四、五行呢 由此你能得出怎样的结论 提示:(1)相等. (2)当n=2,4,…时,中间一项最大,当n=3,5,…时中间两项最大. (3)第一行中各数之和为21.第二、三、四、五行中各数之和分别为22,23,24,25.第n行中各数之和为2n. 2.(1)从函数的角度分析二项式系数 ②增减性与最大值 3.(1)下列关于(a-b)10的说法错误的是( ) A.展开式中的二项式系数之和为1 024 B.展开式中第6项的二项式系数最大 C.展开式中第5项或第7项的二项式系数最大 D.展开式中第6项的系数最小 (2)(2x-1)6展开式中各项系数的和为 ;各二项式系数的和为 . 解析:(1)根据二项式系数的性质进行判断,由二项式系数的性质,知二项式系数之和为2n,故A正确;当n为偶数时,二项式系数最大的项是中间一项,故B正确,C错误;易知D正确. (2)令x=1,得各项系数的和为1;各二项式系数的和为26=64. 答案:(1)C (2)1 64 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”. (1)(a+b)n的展开式中某项的二项式系数是该项中非字母因数部分,包括符号等.( × ) (2)二项式展开式的二项式系数和为 .( × ) (3)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同.( × ) 合作探究 释疑解惑 探究一 求展开式的系数和 【例1】 已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7. 求:(1)a1+a2+…+a7; (2)a1+a3+a5+a7; (3)a0+a2+a4+a6. 解:令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1,① 令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37.② 本例中条件不变,求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|的值. 解:(方法一)(1-2x)7的展开式中,a0,a2,a4,a6大于零,而a1,a3,a5,a7小于零, 故|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7| =(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7) =1 093+1 094=2 187. (方法二)∵|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|是(1+2x)7展开式中各项的系数和, ∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=37=2 187. 二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可. 【变式训练1】 已知(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,求: (1)a0+a1+a2+a3+a4; (2)(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2. 解:(1)在(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中, 令x=1,得(2-3)4=a0+a1+a2+a3+a4, 故a0+a1+a2+a3+a4=1. (2)在(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中,令x=1,得(2-3)4=a0+a1+a2+a3+a4,① 令x=-1,得(-2-3)4=a0-a1+a2-a3+a4.② 故(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0-a1+a2-a3+a4)·(a0+a1+a2+a3+a4) =(-2-3)4(2-3)4=(2+3)4(2-3)4=625. 探究二 求展开式中系数或二项式系数的最大项 (1)求二项式系数最大的项; (2)系数的绝对值最大的项是第几项 在本例条件下求系数最大的项与系数最小的项. 解:由本例(2)知,展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大,第6项的系数为负,第7项的系数为正. 1.求二项式系数的最大项,根据二项式系数的性质对(a+b)n中的n进行讨论. (1)当n为奇数时,中间两项的二 ... ...
