杨高2025-2026学年第一学期高一年级数学开学考 一、填空题（本大题共有10题，满分30分） 1．已知全集，，则_____． 2．已知的两边长，，则第三边的长的取值范围用区间表示 为_____． 3．“存在，使得”的否定形式是_____． 4．已知无论取何值，等式恒成立，则常数_____． 5．已知命题，命题，若是成立的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____． 6．已知集合，，其中为实数，，则的取值范围是_____． 7．已知集合，若中至多有一个元素，则实数的取值范围是_____． 8．关于的方程至少有一个负实根的充要条件是_____． 9．设，，，是4个有理数，使得，则_____． 10．已知集合，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是_____． 二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得4分，否则一律得零分． 11．设，则“”是“”的（ ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 12．已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C．或 D． 13．已知集合，，，则集合，，的关系为（ ）. A． B． C． D．， 14．以某些整数为元素的集合具有以下性质：（1）中元素有正数，也有负数； （2）中元素有奇数，也有偶数； （3）； （4）若、，则．则下列选项哪个是正确的（ ）. A．集合中一定有0但没有2 B．集合中一定有0可能有2 C．集合中可能有0可能有2 D．集合中既没有0又没有2 三、解答题（满分54分，共有5题）解答下列各题必须写出必要的步骤． 15．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题6分． （1）已知集合，，求； （2）已知集合，，是否存在实数，使得？若存在，试求出实数的值，若不存在，请说明理由． 16．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题5分，第2小题5分． （1）设，求关于的方程的解集． （2）用反证法证明：若、、，且，，，则、、中至少有一个不小于0． 17．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题6分． 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，，且，求的值． 18．（本题满分12分）本题共3个小题，第1小题3分，第2小题4分，第3小题5分． 如图，已知二次函数的图像与轴相交于点、（点在点的左侧），与轴相交于点，连接、． （1）求线段的长； （2）若平分，求的值； （3）该函数图象的对称轴上是否存在点，使得为等边三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19．（本题满分12分）本题共3个小题，第1小题3分，第2小题4分，第3小题5分． 已知正整数，，若正整数集的子集，，…，同时满足 条件①：对任意，存在唯一，使得； 条件②：对任意整数，及任意，均存在，使得，则称，，…，为“可表集合组”． （1）若，，，则，是否为“7可表集合组”？说明理由， （2）若，，为“可表集合组”，求的最小值； （3）若，，为“15可表集合组”，求的最大值． 参考答案 一、填空题 1． 2． 3对任何，都有． 4．4 5． 6． 7．或 8． 9．3 10．1或 二、选择题 11．B 12．B 13．C 14．A 三、解答题（满分54分，共有5题）解答下列各题必须写出必要的步骤． 15．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题6分． （1）已知集合，，求； （2）已知集合，，是否存在实数，使得？若存在，试求出实数的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在， 【解析】（1）由题意可得，解得，所以； （2）存在，，理由如下：因为，则， （i）若，则，此时，不合题意； （ii）若，则或， ①当时，则，，符合题意； ②当时，此时，不合题意；综上所述：． 16．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题5分，第2小题5分． （1）设，求关于的方程的解集． （2）用反证法证明：若、、， ... ...
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