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课件网) 第一章 空间向量与立体几何 1.1.1 空间向量及其线性运算 数学 学习目标 ①理解空间向量的有关概念． ②掌握空间向量的线性运算及其运算律，理解共线向量和共面向量的概念及判定条件． ③能用空间向量的线性运算解决一些简单的立体几何问题． 在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等。显然，这些力不在同一个平面内。联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢 类比 思考：类比平面向量，你认为本章我们需要研究空间向量哪些内容 概念 ——— 运算 ——— 基本定理 ——— 坐标表示 ——— 应用 情境 平面向量的概念 空间向量的概念 平面内，既有大小又有方向的量，叫做平面向量，平面向量的大小叫做向量的长度或模， 空间中，既有大小又有方向的量，叫做空间向量，空间向量的大小叫做向量的长度或模， 平面向量是什么？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？ 问题1 平面向量的表示法 空间向量的表示法 (1)有向线段 A (起点) B (终点) (2)字母 … (3)坐标表示：＝(x，y) (1)有向线段 (2)字母 … (3)坐标表示：＝(x，y，z) 其模记作 . 或 其模记作 . 或 空间向量是平面向量的推广，其表示方法以及一些相关概念与平面向量一致。 问题2 如何表示平面向量？你能类比平面向量的表示，给出空间向量的表示吗？ 平面向量的相关概念 空间向量的相关概念 零向量： 单位向量： 相等向量： 相反向量： 共线向量： 模为0的向量，记作 ；零向量的方向任意； 模为1的向量； 模和方向都相同的两个向量，记作 ； 模相同，方向相反的两个向量，记作； 方向相同或相反的两个非零向量，叫做共线向量或平行向量，记作 ； 规定：零向量和任意向量平行. 若表示空间向量的有向线段所在直线平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作 ； 规定：零向量与任意向量平行. 概念的本质是一样的 问题3 在学习平面向量时，我们还学习了一些新的概念.你还记得有哪些吗？你能把这些概念推广到空间向量中吗？ (1)下列关于空间向量的命题中,真命题的个数是( ) ①任一向量与它的相反向量都不相等; ②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量; ③平行且模相等的两个向量是相等向量; ④若a≠b,则|a|≠|b|; ⑤两个向量相等,则它们的起点与终点相同. A.0 B.1 C.2 D.3 B 【例题1】 (2)下列说法正确的是( ) A.若|a|=|b|,则a=b或a=-b B.若a,b为相反向量,则a+b=0 C.零向量是没有方向的向量 D.若a,b是两个单位向量,则a=b B 【例题1】 (1)已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC1的中点为O,则下列命题正确的是( ) A.是一对相等向量 B.是一对相反向量 C.是一对相等向量 D.是一对相反向量 D 【跟踪训练】 (2)给出下列命题: ①空间向量就是空间中的一条有向线段; ②在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有; ③|a|=|b|是向量a=b的必要不充分条件; ④若空间向量m,n,p满足m∥n,n∥p,则m∥p. 其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.0 B 【跟踪训练1】 A O B 如图，已知空间向量 以任意点O为起点， 作 ， ， 我们就可以把它们平移到同一个平面α内。 α 空间向量的线性运算 转化 平面向量的线性运算 空间向量问题 平面向量问题 问题4 空间向量的线性运算如何进行？ 把平面向量的线性运算推广到空间，定义空间向量的加法、减法以及数乘运算: ② O A B C O A P Q N M (1)加法： (2)减法： (3)数乘： 实数λ与空间向量a的积是一个向量，记作 λa，其长度和方向规定如下： ① |λa|＝|λ||a|； 追问 向量线性运算的结果与向量起点的选择有关系吗？ 归纳新知 ①首尾相接的若干向量之和， ②首尾相接的若干向量 ... ...
