3.3.1 抛物线及其标准方程 一、单选题 1．已知抛物线C：的焦点为，为抛物线C上的点，线段AF的垂直平分线经过点，则（ ） A． B． C． D． 2．已知点是抛物线：的焦点，是抛物线上的一点，若，，则点的纵坐标为（ ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的焦点为，，抛物线的准线与交于M，N两点，且为正三角形，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 4．若抛物线的焦点也是双曲线的一个焦点，则此抛物线的方程为（ ） A． B． C． D． 5．设抛物线的焦点为F，l为准线，P为C上一动点，则点P到准线l的距离和点P到直线的距离之和的最小值为（ ） A．4 B．3 C． D． 6．已知F是抛物线C：的焦点，直线l与抛物线C交于A，B两点，横坐标为的点P在直线l上，且满足，则（ ） A．2 B．3 C． D． 7．将抛物线绕其顶点顺时针旋转之后，正好与抛物线重合，则（ ） A． B． C．-2 D．2 8．设为抛物线的焦点，点在上，点，若，则的中点到轴的距离是（ ） A．2 B． C．3 D． 二、多选题 9．以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 10．若抛物线上一点到焦点的距离是它到直线的距离的8倍，则该抛物线的焦点到准线的距离可以为（ ） A． B． C． D． 11．已知抛物线的焦点为F，点P在准线上，过点F作PF的垂线且与抛物线交于A，B两点，则（ ） A．最小值为2 B．若，则 C．若，则 D．若点P不在x轴上，则 12．已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过点作不垂直于轴的直线与交于，两点．设为轴上一动点，为的中点，且，则（ ） A．抛物线的方程为 B．的最小值为 C． D． 三、填空题 13．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点F相同，且过点，则点到抛物线的焦点F的距离_____． 14．已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为_____． 15．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F且斜率为的直线与C交于A，B两点，D为AB的中点，且于点M，AB的垂直平分线交x轴于点N，四边形DMFN的面积为，则_____. 16．过抛物线焦点且斜率为1的直线与此抛物线相交于两点，则_____. 四、解答题 17．设抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，三角形POF（其中O为坐标原点）的面积为4． (1)求a； (2)若直线l与抛物线C交于异于点P的A，B两点，且直线PA，PB的斜率之和为，证明：直线l过定点，并求出此定点坐标． 18．已知曲线上任意一点到点的距离比它到直线的距离大1. (1)求曲线的方程； (2)若直线与曲线交于，两点，求证：. 1．D2．C3．A4．B5．A6．A7．A8．C 9．BD10．BD11．ABC12．BD 13．3 14．2 15． 16．8 17．(1)； (2)证明见解析，定点． 【详解】（1）因为点在抛物线C上，所以，即， 因为三角形POF的面积为4，所以，解得，所以． （2）由（1）得，． 当直线l斜率为0时，不适合题意； 当直线l斜率不为0时，设直线，设，， 由，得， 则，，， 因为直线PA，PB的斜率之和为， 所以，即， 所以，所以 ，整理得， 所以直线， 令，解之得，所以直线l过定点． 18．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设动点，根据动点到点的距离比它到直线的距离大，可得动点到点的距离等于它到直线的距离，由此建立方程，即可求得曲线的方程； （2）设、，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可得到，从而得证. 【详解】（1）设动点，动点到点的距离比它到直线的距离大， 即动点到点的距离等于它到直线的距离， ，两边平方， 化简可得. （2）设、，由，消去得， 则，所以，， 所以， 所以，即. ... ...
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