高分提能九 统计概率中的交汇问题 【典型例题】 例1 解:(1)设甲同学和乙同学答对的题目个数分别为a1,a2,所以所求概率P=P(a1=2,a2=3)+P(a1=3,a2=2)+P(a1=3,a2=3)=×××+×××+×=,所以他们在一轮竞赛中获得1个积分的概率为. (2)由(1)可知P=P(a1=2,a2=3)+P(a1=3,a2=2)+P(a1=3,a2=3)=××(1-p1)×+×××(1-p2)+×,整理可得P=[3(p1+p2)-5p1p2]=(4-5p1p2), 因为0≤p1≤1,0≤p2≤1,且p1+p2=,所以≤p1≤1,所以p1p2=p1∈. 令t=p1p2,则t∈, 所以P(t)=-5t3+4t2,t∈,则P'(t)=-15t2+8t, 易知当t∈时,P'(t)>0恒成立,则P(t)在上单调递增, 所以当t=时,P(t)取得最小值. 设在n轮比赛中,甲、乙两同学获得1个积分的轮数为Y,则Y~B(n,P), 又X=Y,所以E(X)=E(Y)=nP,则由nP≥5, 得n·≥5,解得n≥≈19.3, 因为n为正整数,所以n的最小值为20. 自测题 解:(1)甲三次投篮都命中的概率P1=××=, 甲三次投篮只命中两次且总分不低于4分的概率P2=××+××=, 所以甲未获得奖品的概率为1-P1-P2=. (2)设甲的投篮次数为X,则X的所有可能取值为n,200-2n,P(X=n)=,P(X=200-2n)=1-,所以X的分布列为 X n 200-2n P 1- 则E(X)=+(200-2n)×=-2n+200. 令f(n)=-2n+200(n∈N*),则f(n+1)=-2n+198, 所以f(n+1)-f(n)=,其中203-3n-2n+2随着n的增大而减小. 当n≤5时,203-3n-2n+2>0,f(n+1)>f(n); 当n≥6时,203-3n-2n+2<0,f(n+1)
f(7)>f(8)>f(9)>…, 故当n=6时,甲投篮次数的期望最大. 例2 解:(1)由题知K2的观测值k==24>6.635, 所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异. (2)(i)证明:由题知R=·=·=·=·=·=·. (ii)由调查数据可知P(A|B)==,P(A|)==, 则P(|B)=1-P(A|B)=,P(|)=,所以R=×=6. 例3 解:(1)打完3个球后甲比乙至少多得2分,只能是甲得3分乙得0分,故p3=p3. 打完4个球后甲比乙至少多得2分,可能是甲得4分乙得0分,也可能是甲得3分乙得1分, 故p4=p3q+p4=4p3q+p4=4p3(1-p)+p4=4p3-3p4. (2)根据对称性以及(1)的结果,可得q3=q3,q4=4q3-3q4, 故=====4,可得=2, 又p+q=1,所以p=,q=. (3)证明:方法一:设Xk为打完k个球之后甲的得分,则pk=P[Xk-(k-Xk)≥2]=P. p2m+1=P=P(X2m+1≥m+2),p2m=P=P(X2m≥m+1). 要使得打完2m+1个球之后,甲的得分大于等于m+2,只有两种情况: ①打完前2m个球之后,甲的得分已经大于等于m+2,其概率为p2m-P(X2m=m+1); ②打完前2m个球之后,甲的得分恰为m+1,且第2m+1个球甲得分,其概率为P(X2m=m+1)·p. 因此p2m+1=[p2m-P(X2m=m+1)]+P(X2m=m+1)·p,所以p2m+1-p2m=P(X2m=m+1)(p-1)=pm+1qm-1(p-1)=-pm+1qm. 同理,q2m+1-q2m=-qm+1pm, 所以(p2m+1-q2m+1)-(p2m-q2m)=(p2m+1-p2m)-(q2m+1-q2m)= pmqm(q-p)<0,左侧不等式得证. p2m+2=P=P(X2m+2≥m+2), 要使得打完2m+2个球之后,甲的得分大于等于m+2,只有三种情况: ①打完前2m个球之后,甲的得分已经大于等于m+2,其概率为p2m-P(X2m=m+1); ②打完前2m个球之后,甲的得分恰为m+1,且最后2个球甲至少得1分,其概率为P(X2m=m+1)·(1-q2); ③打完前2m个球之后,甲的得分恰为m,且最后2个球甲得2分,其概率为P(X2m=m)·p2. 因此p2m+2=[p2m-P(X2m=m+1)]+P(X2m=m+1)·(1-q2)+P(X2m=m)·p2, 所以p2m+2-p2m=-q2·P(X2m=m+1)+p2·P(X2m=m)= -q2pm+1qm-1+p2pmqm= -pm+1qm+1+pm+2qm, 同理,q2m+2-q2m=-qm+1pm+1+qm+2pm, 所以(p2m+2-q2m+2)-(p2m-q2m)=(p2m+2-p2m)-(q2m+2-q2m)=pmqm(p2-q2)>0, 右侧不等式得证. 综上可知,不等式成立. 方法二:记am(x)表示打完m个球后甲得x分的概率, 故p2m+1=p2m-q·a2m(m+1), q2m+1=q2m-p·a2m(m-1), 故p2m+1-p2m=-q·a2m(m+1), q2m+1-q2m=-p·a2m(m-1), 故要证p2m+1-q2m+1