4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 一、 单选题 1 [2026内蒙古名校联盟开学考试]已知α，β均为锐角，tan β＝，sin (α－β)＝，则cos α的值为( ) A. B. C. D. 2 已知tan α＝2，则sin sin 的值为( ) A. － B. C. － D. 3 已知点P，O为坐标原点，线段OP绕原点O逆时针旋转，到达线段OP1，则点P1的坐标为( ) A. B. C. D. 4 已知α，β∈(0，π)且tan α＝，cos β＝－，则 α＋β的值为( ) A. B. C. D. 二、 多选题 5 计算下列各式，结果为的是( ) A. sin 15°＋cos 15° B. cos215°－sin15°cos 75° C. D． 6 已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两个根，且－<α<，－<β<，则下列结论中正确的是( ) A. tan α＋tan β＝3 B. tan (α＋β)＝ C. tan αtan β＝4 D. α＋β＝－ 7 [2026湘豫名校开学考试]已知α，β均为锐角，且2sin (α＋β)＝3sin (α－β)，则下列说法中正确的是( ) A. tan α＝5tan β B. 5tan α＝tan β C. 若α＋β＝，则tan β＝ D. tan (α－β)的最大值为 三、 填空题 8 [2026德阳五中开学考试]已知sin ＝－，cos ＝，α∈，β∈，则cos (α－β)＝_____． 9 已知α∈，sin ＝，则cos (α＋)＝_____． 10 [2025南京田家炳高级中学期初]已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin (α＋β)＝_____． 四、 解答题 11 已知sin α＝，α∈，tan (α－β)＝，求tan β 及tan (2α－β)的值． 12 [2025扬大附中期初]已知cos (α＋β)＝，tan β＝，且α，β∈. (1) 求cos2β－2sin2β＋sinβcos β的值； (2) 求2α＋β的值． 4．3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1. B 解析：由β为锐角，tan β＝，得且sin β>0，cos β>0，解得sin β＝，cos β＝.又α，β为锐角，所以－<α－β<.由sin (α－β)＝，得cos (α－β)＝＝，所以cos α＝cos [(α－β)＋β]＝cos (α－β)cos β－sin (α－β)sin β＝×－×＝. 2. B 解析：sin sin ＝(sin αcos －cos α·sin )＝(sin2α－cos2α)＝×＝×＝×＝. 3．D 解析：由点P的坐标可知点P在单位圆上，设α的终边经过点P，所以cos α＝，sin α＝.因为OP1为OP绕原点O逆时针旋转得到，所以α＋的终边经过点P1，且点P1也在单位圆上，所以点P1(cos ，sin ).又因为cos ＝cos α－sin α＝，sin ＝sin α＋cos α＝，所以点P1的坐标为. 4. B 解析：因为α，β∈(0，π)且tan α＝，cos β＝－，所以α为锐角，β为钝角，所以sin β>0，sin β＝＝，tanβ＝＝－3，所以α∈，β∈，所以α＋β∈，所以tan (α＋β)＝＝＝－1，所以α＋β＝. 5. AD 解析：对于A，sin 15°＋cos 15°＝2sin (15°＋45°)＝2sin 60°＝，故A正确；对于B，cos215°－sin15°cos 75°＝sin 75°cos 15°－sin 15°cos 75°＝sin (75°－15°)＝sin 60°＝，故B错误；对于C，＝＝，故C错误；对于D，＝＝tan (45°＋15°)＝tan 60°＝，故D正确．故选AD. 6. BCD 解析：由题意，得tan α＋tan β＝－3，tan αtan β＝4，所以tan α<0，tan β<0，所以tan (α＋β)＝＝＝.又－<α<，－<β<，且tan α<0，tan β<0，所以－π<α＋β<0，所以α＋β＝－，故A错误，B，C，D正确．故选BCD. 7. ACD 解析：由2sin (α＋β)＝3sin (α－β)，得2(sin αcos β＋cos αsin β)＝3(sin αcos β－cos αsin β)，即sin αcos β＝5cos αsin β.又α，β为锐角，所以cos α≠0，cos β≠0，所以tan α＝5tan β，故A正确，B错误；若α＋β＝，则tan (α＋β)＝＝＝1，即5tan2β＋6tanβ－1＝0，解得tan β＝.又tan β>0，所以tan β＝，故C正确；tan (α－β)＝＝＝≤＝，当且仅当5tan β＝，即tan β＝时取等号，故D ... ...
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