罗湖区中考备考“百师助学”课程第八讲 《用平行线解函数中的三角形面积问题》 考点梳理： 函数与三角形面积相结合的综合题常常出现在中考的压轴题中，是中考压轴题的难点之一。主要考查学生的综合分析问题能力，考察学生数形结合思想，分类讨论思想、转化思想等。热点考题是：面积比问题，面积定值问题、面积最值问题，面积之间的和、差、比值等问题。常见的解题方法有多种，例如： 1、利用铅垂高、水平宽解决问题；2、利用割补法解决问题；3、利用面积比等于相似比的平方解决问题； 4、 利用平行线转移面积解决问题等。在二次函数与一次函数相结合的题目中求面积或者与面积相关的问题时，我们通常过三角形的某个已知顶点作对边的平行线，利用平滑定理来求解，问题就会变得简单许多，近年来，多地的中考试题中也出现了这样的题目，值得我们重视。 二、本节课学习目标： 1. 利用平行线转移三角形面积，并解决问题； 2. 利用平行线把面积比转化为线段比； 3. 通过直线与曲线相切求面积的最值； 三、新课学习： 知识铺垫： 知识铺垫：任何两条夹在平行线间的垂线段长度相等； （1）如图1，若直线a∥b，则有MN＝PQ （2）如图2，直线a∥b，则S△ABC= S△BCD 我们先来了解什么是平滑定理：两个三角形共用同一底，且顶点都在与底平行的同一条直线上，那么由三角形的面积公式可知，这两个三角形的面积必然相等。所以平滑定理需要两个条件：（1）共底或者底在同一直线上但相等；（2）三角形的顶点都在与底平行的同一条直线上 知识铺垫2：一次函数y=k1x+b1图像与一次函数y=k2x+b2图像平行则可以推出k1=k2反之若k1=k2则可推出一次函数y=k1x+b1图像与一次函数y=k2x+b2图像平行，其中b1≠b2. 模块一（利用平行转换面积） 典例精讲： 如图，已知二次函数y＝﹣x2+x+4的图象与y轴交于点A（0，4）．与x轴交于点B，C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积等于5时，求此时点N的坐标； 解法1：A（0，4），B（-2，0）, C（8，0） 设NC=m，连接MC， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵NM∥AC ∴S△AMN＝S△CMN= = ∴当△AMN面积是5时，m＝5，此时N点坐标为（3，0） 学生练习：已知：如图，抛物线y＝x2+4x+3交x轴于E、F两点，交y轴于A点，若Q为抛物线上一点，连接QE，QA，设点Q的横坐标为t（t＜﹣3），△QAE的面积为S，求S与t函数关系式； 【解答】解: 易得A（0，3），E（-3，0），AE: y＝x+3． 作QH//AE， 交y轴于点H， 设Q（t，t2+4t+3），设HQ：y＝x+b 把Q点坐标代入 y＝x+b 可得HQ: ∴H（0 ，）， AH=， 模块二（同底三角形面积比问题） 典例精讲：1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝-x2+2x+3与交x轴于点A，与y轴交于点C．点M的坐标为（4，-5），在抛物线上是否存在点P（不与点A重合），使△PMC的面积与△AMC的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（3，0）， 当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3） 设直线CM的解析式为y＝mx+n， 把C（0，3），M（4，﹣5）代入得m＝﹣2，n＝3， ∴直线MC的解析式为y＝﹣2x+3， ∵△PMC的面积与△AMC的面积相等， ∴AP∥MC， 设AP的解析式为y＝﹣2x+p， 把A（3，0）代入得p＝6， ∴AP的解析式为y＝﹣2x+6， 解方程组得或，此时P点坐标为（1，4）； 直线AP的解析式为y＝﹣2x+6与y轴的交点坐标为（0，6）， ∵6﹣3＝3， 把直线CM向下平移3个单位得到y＝﹣2x， 解方程得或， 此时P点坐标为（2+，﹣4﹣2），（2﹣，﹣4+2）， 综上所述，P点坐标为（1，4）或（2+，﹣4﹣2）或（2﹣，﹣4+2）， EMBED Paint.Picture 典例精讲：2. 如图，抛物线y＝﹣x2+3x+8与x轴交 ... ...
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