5.3 实际问题与一元一次方程 第4课时 方案选择问题 课题 5.3 实际问题与一元一次方程 第4课时 课型 新授课 备课人 授课班级 核心素养目标 1.数学建模：将方案选择和分段计费问题转化为方程模型；2.数学运算：正确求解方程并比较方案；3.逻辑推理：分析费用随变量变化的规律；4.数学抽象：从实际问题中抽象出费用函数。 教学重点 寻找数量关系列方程，确定最优方案。突破策略：通过列费用表达式，找临界点方程，再分段讨论。 教学难点 分段计费问题的分析和方程建立。突破策略：通过分段水费问题，先判断用水量范围，再分段列方程。 一、情境导入 生活中经常面临各种选择：买哪种空调更划算？选哪种方案更省钱？这些问题看似复杂，但只要找到关键的数量关系，用方程就能轻松解决。今天我们就来学习方案选择问题。 【知识点】方案选择问题的核心：找出费用随哪个变量变化，用代数式表示各方案的费用，通过列方程找临界点，再分段讨论确定最优方案。 【过渡语】了解了方案选择问题的基本思路后，我们来看一个具体的空调购买问题。 设计意图：通过生活情境导入，激发学生兴趣，引出方案选择问题的数学建模思想。 二、探究新知 1. 探究：不同能效空调的综合费用比较 购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况。某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，下表是这两款空调的部分基本信息。如果电价是0.5元/(kW·h)，请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低。 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW·h) 1.5 1级 3000 640 1.5 3级 2600 800 【知识点】综合费用分析：选定一种空调后，售价是确定的，电费则与使用时间有关。综合费用=售价+电费=售价+电价×年耗电量×使用年数。 设计意图：引导学生分析实际问题中的变量与不变量，培养数学抽象能力。 【过渡语】明确了综合费用的构成后，我们用字母t表示使用年数，列出两种空调的费用表达式。 2. 列费用表达式 设空调的使用年数是t，则： 1级能效空调的综合费用（单位：元）： 3级能效空调的综合费用（单位：元）： 设计意图：引导学生用字母表示变量，建立费用函数模型，培养数学建模能力。 【过渡语】列出了两种空调的费用表达式后，我们先来找到费用相等的临界点。 3. 求费用相等的临界点 先来看t取什么值时，两款空调的综合费用相等。 列方程： 解得： 【知识点】临界点法：令两种方案费用相等，解方程求出临界值t=5。以临界值为界，将使用年数分为三段讨论：t<5、t=5、t>5。 设计意图：通过求临界点，将连续的费用比较问题转化为分段讨论，培养逻辑推理能力。 4. 分段讨论确定最优方案 为了比较两款空调的综合费用，把3级能效空调的费用变形为1级费用与另一个式子的和： 也就是： 分析： 当t<5时，80(t-5)是负数，3级空调综合费用较低； 当t>5时，80(t-5)是正数，1级空调综合费用较低； 当t=5时，两者费用相同。 解题技巧：方案选择解题步骤：①用字母表示变量；②列各方案费用表达式；③令费用相等求临界点；④分段讨论确定最优方案。 【知识点】变形比较法原理：将方案二费用变形为"方案一费用+差值式"，当差值式为负时方案二更优，为正时方案一更优，为零时两者相同。 根据相关行业标准，空调的安全使用年限是10年（从生产日期计起），因此购买、使用1级能效空调更划算。 设计意图：通过变形比较法，让学生理解分段讨论的原理，培养数学运算和逻辑推理能力。 【过渡语】掌握了方案选择问题的基本方法后，我们来练习两道巩固题目。 5. 巩固练习1：垃圾桶购买方案 在"清洁乡村"活动中，村里需购买一些垃圾桶，商家给出了两种购买方案： 方案一：买分类垃圾桶，需要费用4000元，以后每月的垃圾处理费用为300元； 方案二：买不分类垃圾桶，需要费用1000元，以后每月的 ... ...
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