2027 届普通高等学校招生适应性考试（三） 数学 本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分；考试时间 120 分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必将姓名、准考证号、考场、座位号填写在试卷与答题卡指定区域，粘贴准考证条形码。 2.所有作答必须写在答题卡对应区域，试卷、草稿纸作答无效。 3.考试结束仅上交答题卡。 第一部分 选择题（共 58 分） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。每小题只有一项符合要求。 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 2. 若复数满足，则 A. B. C. D. 3. 已知平面向量，，则在方向上的投影为 A. B. C. D. 4. 已知直线与直线垂直，则实数的值为 A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为 A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 关于原点对称 D. 无对称性 6. 函数的最小正周期和初相分别为 A. B. C. D. 7. 已知正数满足，则的最大值为 A. B. C. D. 8. 已知函数，则下列说法正确的是 A. 在上单调递增 B. 的最小值为0 C. 在上单调递减 D. 的最大值为0 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 下列关于基本初等函数的性质说法正确的有 A. 函数是奇函数且在上单调递增 B. 函数是偶函数，且在上单调递增 C. 函数在定义域上单调递减 D. 函数的值域为 10. 已知函数，下列说法正确的有 A. 函数最小正周期为 B. 函数定义域为 C. 函数在上单调递增 D. 函数图象关于点对称 11. 已知随机变量，则下列说法正确的有 A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，。 12. 已知函数，则_____。 13. 已知函数是定义在上的奇函数，且，则_____。 14. 已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于两点，则_____。 四、解答题：本题共5小题，。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本题满分13分） 已知等比数列的各项均为正数，且，。 (1) 求数列的通项公式； (2) 设，求数列的前项和。 16.（本题满分15分） 在中，内角的对边分别为，已知，，。 (1) 求的值； (2) 求的值。 17.（本题满分15分） 某班级开展垃圾分类知识答题活动，已知甲、乙两名同学答题正确率分别为和，两人答题相互独立。 (1) 求甲、乙两人各答题1次，恰有一人答题正确的概率； (2) 求甲答题3次，至少2次答题正确的概率。 18.（本题满分17分） 已知椭圆的离心率为，且椭圆经过点。 (1) 求椭圆的标准方程； (2) 设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，求面积的最大值。 19.（本题满分17分） 已知函数。 (1) 求函数的单调区间与极值； (2) 当时，证明：； (3) 证明：对任意，都有。 2027 届普通高等学校招生适应性考试（三） 数学参考答案 本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分；考试时间 120 分钟。 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。每小题只有一项符合要求。 1 2 3 4 5 6 7 8 A C A B C A C D 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，错选 0 分。 9 10 11 ABD AB BCD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12 13 14 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，需写出完整文字说明、演算、证明步骤。 15.（13分） (1) 设等比数列公比为， 由，代入，得，解得（舍去负根）。 故数列通项公式为。（4分） (2) 由， 则。（8分） 故前项和。（13分） 16.（15分） (1) 由余弦定理， 代入得：， 整理得，解得（舍去负根）。（7分） (2) 由，，得。 由正弦定理， 代入得。（15分） 17.（15分） (1) 设“甲答题正确”为事件，“乙答题正确”为事件，则，相互独立。 恰有一人正确的概率：。（7分） (2) 甲答题3次，正确次数服从二项分布， 至少2次正确包含2次正 ... ...
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