湖南省长沙市2026-2027学年高三上学期开学学情自测卷 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如果集合，，那么（ ） A． B． C． D． 2．下列函数中，值域为的是（ ） A． B． C． D． 3．已知数列是等差数列，且，，则（ ） A．20 B．15 C．10 D．5 4．已知随机变量的概率分布如下表，则（ ） 1 2 3 0.3 0.3 A．0.6 B．2 C．2.4 D．5 5．已知实数x，y满足，且，则的最小值为（ ） A． B．8 C． D． 6．下图是一个圆台的侧面展开图，已知，且，则该圆台的体积为（ ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，以轴非负半轴为始边作角和角，它们的终边分别与单位圆交于点，设线段的中点的纵坐标为，若，则点的纵坐标是（ ） A． B． C． D． 8．若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9．正方体中，M为中点，O为中点，以下说法正确的是（ ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 10．下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 11．定义在区间上的函数满足，，且对任意的，都有，则（ ） A． B． C．不等式在区间上恒成立 D．若，都有，则的最小值为 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，） 12．将一个圆锥的侧面展开后，得到一个半圆，则该圆锥轴截面的顶角等于_____. 13．已知数列满足，且，则_____ 14．一个箱子里有5个相同的球，分别以1 5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少被取出一次的球的个数为，则数学期望_____． 解答题（本大题共5个小题，.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知数列是公差不为0的等差数列，若，且，，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和； 16．已知，动点P到点F的距离比到直线的距离小1.记动点P的轨迹为E. (1)求E的方程； (2)设，过点P作E的切线，与直线l交于点K，直线PT与l交于点M，与抛物线交于另一点Q. （i）证明：点K与点M的纵坐标的乘积为定值； （ii）设，，求的最大值. 17．生涯规划是对职业生涯乃至人生进行持续的系统的计划过程.高中选科分类是生涯规划的重要组成部分，生涯规划专业团队为某“乡村振兴县”的高中学生指导学生选科分类，生涯规划团队在该县的高一学生中随机抽取100名学生，进行选科类别与学生性别的关系研究，得到的统计数据如下列联表：（单位：名） 男生 女生 合计 历史类 15 25 40 物理类 35 25 60 合计 50 50 100 (1)依据的独立性检验，分析学生的性别是否对选科分类有影响； (2)生涯规划团队远过对随机抽取的100名学生中的男生的样本数据分析得到：首选物理，再选化学和地理的频率为；首选历史，再选化学和地理的频率为.以样本估计总体，频率估计概率，为进一步了解学生选科的情况，再从全校男生中用随机抽样的方法选取4名学生，记选取的4名男生中选化学和地理人数为，求的分布列和数学期望. 附，. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 18．在如图所示的多面体中，平面，平面，，且，是的中点． (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角是，若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．已知函数，． ( ... ...
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