5.4 三角函数的性质 【课标要求】 1.能画出三角函数的图象； 2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值； 3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在上的性质及正切函数在上的性质． 夯实 必备知识 【知识梳理】 1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数的图象中，五个关键点是：，， ， ，； (2)在余弦函数的图象中，五个关键点是：， ，， ，． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下中) 函数 图象 定义域 R R 值域 R 周期性 奇偶性 单调递增区间 单调递减区间 对称中心 对称轴方程 【常用结论】 1．对称性与周期性 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期． 2．与三角函数的奇偶性相关的结论 (1)，为奇函数，为偶函数； (2)若为偶函数，则；若为奇函数，则； 若为偶函数，则；若为奇函数，则； 若为奇函数，则． 【课前自测】 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数图象的对称轴方程为．( ) (2) 是偶函数.（ ） (3)已知是的周期.（ ） (4)函数y＝tan x在整个定义域上是增函数．( ) 答案：(1) ×；(2) √；(3) √；(4) ×. 2．下列区间中，函数单调递增的区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简，再求出的单调增区间，通过对赋值，可确定具体的单调增区间，再确定选项. 【详解】由题知，， 由，， 得，. 所以函数的单调增区间为，. 令，有在上单调递增； 令，有在上单调递增； 令，有在上单调递增； 对于选项所给的区间，只有在区间内，其余的都不在的任何一个单调增区间内. 故选：C. 3．下列四个函数中，以1为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对A，函数周期为，在区间上递减，故A不满足要求； 对B，函数周期为，在上单调递增，在上也是单调递增，故B不满足要求； 对C，因为，， 所以，故不是以1为周期的周期函数，故C不满足条件； 对D，因为，故是以1为周期的周期函数， 且当时，，，所以，所以在上单调递减，故D满足条件. 4．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用诱导公式和正弦函数的单调性比较与，再借助同角三角函数的商数关系比较与，即得三者的大小关系. 【详解】， 因函数在时单调递增， 由可得，即； 又因， 显然，则，即. 综上，. 考点1 三角函数的定义域与值域 考向1 三角函数的定义域 例1 函数的定义域为_____． 【答案】 【详解】因为， 令，即，解得； 当，则，解得或， 所以函数的定义域为. 【解题技法】 求三角函数的定义域，实际上是构造简单的三角不等式（组），解三角不等式（组）常借助三角函数的图象，对于有限集、无限集求交集可借助数轴. 对点训练1 函数的定义域为（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，可得， 注意到，即，可得， 则，可得，整理可得， 解得或，， 所以函数的定义域为. 考向2 三角函数的值域 例2 (1)【2026·天津河西·三模】已知函数，图像的对称中心到相邻的对称轴之间的距离为，则在区间上的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对函数化简，再根据对称中心与相邻对称轴的距离求出周期，进而得到，最后求区间内的最小值. 【详解】， 正弦函数中，对称中心到相邻对称轴的距离为，已知该距离为， 因此：， 由周期公式（），得：， 所以， 当时，令，则， 此时在时取得最小值，所以. (2)【2026·山东青岛·三模】若函数（）在上的值域为，则可以为（ ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【详解】设，由且，得， 此时的值域为等价于. 将选项依次代入验证： 当时，，存在使，，不符合，故A ... ...
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