2027 届普通高等学校招生适应性考试（二十四） 数学 本试卷共19 小题，满分 150 分；考试时间 120 分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必将姓名、准考证号、考场、座位号填写在试卷与答题卡指定区域，粘贴准考证条形码。 2.所有作答必须写在答题卡对应区域，试卷、草稿纸作答无效。 3.考试结束仅上交答题卡。 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。每小题只有一项符合要求。 1.设集合，。若，则 A. B. C. D. 2.函数的最小正周期为 A. B. C. D. 3.在中，，下面表达式最小的是 A. B. C. D. 4.已知单位向量满足，则 A. B. C. D. 5.若，其中，则 A. B. C. D. 6.过点向圆引两条切线，两条切线夹角记为，则 A. B. C. D. 7.正五边形五个顶点，甲、乙二人各自随机选取两个顶点连成一条直线，则甲、乙取出的两条直线互相垂直的概率为 A. B. C. D. 8.是严格递增整数数列，，，则的最大取值为 A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，。每小题给出四个选项，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分。 9.，，则 A. B. C. D. 10. 双曲线左焦点，在双曲线上，在左侧，轴；，，则 A. B. C. D. 11. 隐式曲线，点属于，则 A.与至多2个交点 B.与直线存在相切可能性 C.可以视作的函数 D.可以视作的函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，。 12. 实数，，则_____。 13. 圆台上底面面积，下底面面积，侧面积，则该圆台高为_____。 14. 抛物线焦点，抛物线上，点在，四边形为矩形，则矩形面积为_____。 四、解答题：本题共5小题，。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13 分) 记为数列前项和，。 (1) 求与通项； (2) 若对任意正整数，成等比数列，求实数的值。 16.(15 分) 在中，。 (1) 若，，求； (2) 求的最大值。 17.(15 分) 圆，动点在圆上，且不在坐标轴上；圆在处切线交轴、轴于。向量，记动点轨迹为曲线。 (1) 求的方程； (2) 椭圆右顶点，上顶点。若与恰好有 4 个公共点，求证直线过定点。 18.(17 分) 在直四棱柱中，底面，，，，，，。 (1) 证明：平面； (2) 若直线与平面所成角的正弦等于，求的值； (3) 取两个完全相同的该直四棱柱拼接成为新四棱柱（全等视为同一种方案）。 (i) 求不同拼接方案总数； (ii) 记拼接后得到的新四棱柱表面积最小值为，求。 19.(17 分) (1) 求函数的最大值； (2) 设函数。 (i) 若，求全部极值点； (ii) 若存在极小值点，记极小值点为，讨论单调性。 2027 届普通高等学校招生适应性考试（二十四） 数学参考答案 本试卷共 19 小题，满分 150 分；考试时间 120 分钟。 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。每小题只有一项符合要求。 1 2 3 4 5 6 7 8 A C A D A B A C 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，错选 0 分。 9 10 11 BC AB BD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12 13 14 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，需写出完整文字说明、演算、证明步骤。 注意：解答题主要以提供解题思路为主，计算不是重点。 15 (13 分) (1)。 ，。 ， 代入：，与一致。 通项：。 (2)成等比，则。 展开： 消去同类项： 或者。 ：常数列，满足等比； ：，代入验证满足条件。 综上：或者。 16 (15 分) (1)，，。 展开： ，得。 正弦定理：，。 (2) 令，，设，。 由均值不等式 当取等，最大值。 17 (15 分) (1) 圆，，切线方程：。 令得；令得。 ， 。 利用， (2)，右顶点，上顶点，直线。 与恰好 4 个交点，说明二者是外切于坐标轴附近，关于轴对称。 设，则，。 联立得到二次方程组，恰好 4 组解等价于方程有两组正。 直线：，变形：。 利用对称 ... ...
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