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课件网) 第一章 空间向量与立体几何 1.1.2 空间向量的数量积运算 【学习目标】 1.掌握空间向量的夹角与长度的概念. 2.掌握空间向量的数量积的定 义、性质、运算律及计算方法. 3.能用向量的数量积解决立体几何问题. 一、空间向量数量积的运算 探究1 回忆平面向量夹角的定义，对于空间向量a，b，这两向量的夹角又该如 何定义？ 探究2 类似于向量向向量投影，请尝试定义并画出向量向平面的投影. 【梳理教材】 1. 空间向量的数量积 定 义 已知两个非零向量a，b，则｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞叫做a，b的数量 积，记作a·b.即a·b＝ ； 零向量与任意向量的数量积为0 性 质 ①a⊥b ； ②a·a＝｜a｜｜a｜ cos ＜a，a＞＝｜a｜2 运 算 律 ①（λa）·b＝λ（a·b），λ∈R； ②a·b＝b·a（交换律）； ③（a＋b）·c＝a·c＋b·c（分配律） ｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞ a·b＝0 2. 投影向量 （1）向量a在向量b上的投影向量 先将向量a与向量b平移到同一平面α内，如图1，向量c称为向量a在向量b上的投影 向量. 图1 （2）向量a在直线l上的投影向量 先将向量a与直线l平移到同一平面α内，如图2，向量c称为向量a在直线l上的投影 向量. 图2 （3）向量a在平面β上的投影向量 图3 3. 直线与平面所成的角 如图3，向量a与向量a'的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角. 图3 √ A. 1 B. 2 C. －1 D. －2 [解析] 由题意得（a＋b）·（a＋b＋c）＝a2＋a·b＋a·c＋b·a＋b2＋ b·c＝a2＋b2＝2. B 解题感悟 在几何体中求空间向量的数量积的步骤 （1）首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. （2）利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积. （3）根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模. （4）代入公式a·b＝｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞求解. A. －2 B. 2 A 二、利用数量积证明垂直问题 【典例2】 如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点 M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN⊥AB. 解题感悟 用向量法证明几何中垂直关系问题的思路 （1）要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量 的数量积为0即可. （2）用向量法证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数 量积证明线线垂直即可. 【练习2】 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G 为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD. 三、用数量积求解夹角和模 B （2）已知BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，四边形 ABB1A1和四边形BB1C1C都是正方形，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角. 解题感悟 求向量夹角与模的方法 【练习3】 (1)如图，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC－A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长为_____． 课堂达标 AD ABC C. 1 D 4. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝ 2AD，PD⊥底面ABCD. 求证：PA⊥BD. 课时作业（三） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° C A. 0 A C A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 B C 二、填空题 6. 已知向量a与b的夹角为60°，｜a｜＝2，｜b｜＝6，则2a－b在a上的投影向 量为 . 8.已知空间向量a，b，c两两之间的夹角均为60°，且｜a｜＝2，｜b｜＝6， ｜c｜＝2.若向量x，y分别满足y·（y＋a－b）＝0与x·c＝12，则｜y－x｜ 的最小值为 . 10. 如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝ ∠C1CD＝∠BCD均为锐角. （1）求证：CC1⊥BD； ... ...
