第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.1 二次函数 ◇教学目标◇ 1.掌握二次函数的概念,会判断一个函数是否为二次函数. 2.能够依据实际情况建立二次函数关系式. 3.体会数学与人们生活的紧密联系. 4.在探究二次函数的学习活动中,体会通过探究得到发现的乐趣. ◇教学重难点◇ 教学重点 二次函数的定义. 教学难点 经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验. ◇教学过程◇ 一、情境导入 现有一根12 m长的绳子,用它围成一个矩形,怎样才能使矩形的面积最大 小明同学认为当围成的矩形是正方形时,它的面积最大,他说的有道理吗 二、合作探究 探究点1 二次函数的定义 典例1 下列函数中哪些一定是二次函数 (1)y=x3-2x2+1;(2)y=x2-(1+x)x;(3)y=(x+1)(x-1);(4)y=xz+x2;(5)y=x2+;(6)y=ax2+bx+c. [解析] (1)中自变量x的最高指数是3,不是2,所以不是二次函数;(2)中y=x2-(1+x)x,整理后解析式为y=-x,是一次函数;(3)中y=(x+1)(x-1)化简后为y=x2-1,符合二次函数的定义,是二次函数;(4)y=xz+x2,有两个变量,不符合二次函数的定义,不是二次函数;(5)y=x2+,含有分式,不是二次函数;(6)中当a=0时,不是二次函数,当a≠0时,是二次函数. 变式训练 已知函数y=(m+1)+(m-1)x是二次函数,求m的值. [解析] 根据二次函数的定义, 得 解得m=4,即当m=4时,此函数是二次函数. 方法指导这类题的一般解法是根据二次函数的定义令最高项的指数等于2,系数不为零.特别注意当二次项的系数含有字母时,一定要保证所取字母的值使二次项的系数不为零. 探究点2 列实际问题中的二次函数关系式 典例2 现有塑钢窗框材料8 m,准备加工一个如图所示的长方形窗框(窗框的宽度AB必须小于高度BC).已知窗台距离房屋天花板2.2 m,设窗架宽AB为x m,窗户的总面积为S m2(窗框本身及横梁EF占去的面积忽略不计). (1)写出面积S与宽度x之间的关系式. (2)S是x的二次函数吗 (3)试求x的取值范围. [解析] (1)因为窗架宽AB=x m,则高BC= m, 所以S=·x,即S=-x2+4x. (2)S是关于x的二次函数. (3)由已知BC≤2.2,AB
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