22.1.2 二次函数y=ax2 的图象和性质 ◇教学目标◇ 1.经历探索二次函数y=x2的图象作法和性质的过程,获得利用图象研究二次函数性质的经验. 2.通过类比y=x2的图象及性质,得出y=-x2的图象及性质. 3.会用描点法画出二次函数y=ax2的图象,知道抛物线的有关概念. 4.掌握二次函数y=ax2的图象和性质. 5.在画图、观察、比较等探究活动中,形成良好的思维习惯和学习方法. 6.在探究二次函数y=ax2性质的活动中,体会通过探究得到发现的乐趣. ◇教学重难点◇ 教学重点 二次函数y=ax2(a≠0)的图象和由图象概括的二次函数y=ax2的性质. 教学难点 用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质. ◇教学过程◇ 一、情境导入 如图是某篮球运动员投篮示意图,你知道篮球从出手到落入篮圈内的路线是什么图形吗 它是如何画出来的 我们把篮球从出手到落入篮圈内的曲线叫抛物线,你还能举出一些抛物线的例子吗 二、合作探究 探究点1 画二次函数y=ax2的图象 典例1 在同一平面直角坐标系中画出二次函数y=-2x2和y=x2的图象. [解析] (1)列表如下: x … -2 -1 0 1 2 … y=-2x2 … -8 -2 0 -2 -8 … y=x2 … 4 1 0 1 4 … (2)描点:如图所示. (3)连线:如图所示. 画二次函数y=ax2的图象时注意以下几点: (1)选取恰当的自变量值,求出相应函数值,一定要注意x=0是必须取的; (2)连线时按一定顺序用平滑的曲线连接. 探究点2 二次函数y=ax2的图象与性质 典例2 画出函数y=2x2的图象,回答下列问题: (1)图象是抛物线吗 如果是抛物线,那么它的顶点是 ,对称轴是 . (2)图象有最高点还是最低点 坐标是多少 (3)当x<0时,随着x值的增大,y的值如何变化 当x>0呢 [解析] 列表: x … -2 -1 0 1 2 … y=2x2 … 8 2 0 2 8 … 在平面直角坐标系内描出相应各点的坐标如图所示,用平滑的曲线连接图中各点,即得到此函数的图象. (1)由图可以看出,图象是抛物线,顶点为原点,对称轴是y轴. (2)从图象可知,图象有最低点(0,0). (3)当x<0时,随着x的值增大,y的值逐渐减小;当x>0时,随着x的值增大,y的值逐渐增大. 二次函数y=ax2(a>0)的性质: (1)函数y=ax2(a>0)的图象是一条抛物线,它的开口向上,对称轴是y轴,顶点是原点.抛物线在x轴上方,并向上无限延伸,顶点是抛物线的最低点. (2)当x>0时,y随x的增大而增大;当x<0时,y随x的增大而减小;当x=0时,y取最小值0. 探究点3 二次函数y=ax2的图象与性质的运用 典例3 已知函数y=(m+2)是关于x的二次函数. (1)求满足条件的m值. (2)m为何值时,抛物线有最低点 求出这个最低点.这时当x为何值时,y随x的增大而增大 (3)m为何值时,函数有最大值 最大值是多少 这时当x为何值时,y随x的增大而减小 [解析] (1)∵y=(m+2)是关于x的二次函数, ∴ 解得m=2或m=-3. (2)∵抛物线有最低点,∴m+2>0, ∴当m=2时,抛物线有最低点,这个最低点的坐标是(0,0), ∴当x>0时,y随x的增大而增大. (3)∵二次函数有最大值, ∴m+2<0,即m<-2, ∴当m=-3时,函数有最大值,最大值为0, ∴当x>0时,y随x的增大而减小. 抛物线有最高点或最低点与a的正负有关,当a>0时,抛物线开口向上,图象有最低点;当a<0时,抛物线开口向下,图象有最高点. 变式训练 已知二次函数y=(m-1)的图象开口方向向下,则m的值为 . [答案] - 三、板书设计 二次函数y=ax2的图象和性质 函数y=x2与y=-x2的异同点: 相同点:(1)图象相同:都是抛物线;(2)对称轴相同:都是y轴;(3)顶点相同:都是原点. 不同点:(1)开口方向不同:y=x2的开口向上,y=-x2的开口向下;(2)增减性不同:当x>0时,y=x2是y随x的增大而增大,y=-x2是y随x的增大而减小;当x<0时,y=x2是y随x的增大而减小,y=-x2是y随x的增大而增大;当x=0时,y=x2取最小值,图象有最低点,y=-x2取最大值,图象有最高点. ◇教学反思◇ 本节课是研究二次函数图象与性质的第一 ... ...
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