安徽省“江南十校”2025届新高三第一次综合素质检测数学试题(含答案)

安徽省“江南十校”2025届新高三第一次综合素质检测数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，( ) A. B. C. D. 2.记等差数列的前项和为，已知，则( ) A. B. C. D. 3.已知函数，则对任意实数，有( ) A. B. C. D. 4.已知，都是锐角，，，求( ) A. B. C. D. 5.已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的项的系数为( ) A. B. C. D. 6.已知正方体的棱长为，以顶点为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长为( ) A. B. C. D. 7.某次跳水比赛甲、乙、丙、丁、戊名跳水运动员进入跳水比赛决赛，现采用抽签法决定决赛跳水顺序，在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”的概率为( ) A. B. C. D. 8.对于，恒成立，则正数的范围是( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是( ) A. B. C. 若，则或 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 10.箱中装有张相同的卡片，分别标有数字，，，，，从中有放回地随机取两次，每次取张卡片表示事件“第一次取出的卡片数字是奇数”，表示事件“第二次取出的卡片数字是偶数”，表示事件“两次取出的卡片数字之和是”，则( ) A. B. C. 与相互独立 D. 与相互独立 11.定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心已知函数，的对称中心为，则下列说法中正确的有( ) A. ， B. 的值是 C. 函数有三个零点 D. 过只可以作两条直线与图象相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，。 12.抛物线上的一点到焦点的距离为，则点的纵坐标为 ． 13.已知样本，，，的平均数为，方差为，样本，，，的平均数为，方差为，则新样本，，，，，，，的方差为 ． 14.在中，，则的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，一个质点在随机外力作用下，从原点处出发，每次等可能地向左或者向右移动一个单位． Ⅰ求质点移动次后移动到的位置的概率 Ⅱ设移动次中向右移动的次数为，求的分布列和期望． 16.本小题分 如图，直角梯形中，，，，，等腰直角三角形中，，且平面平面，平面与平面交于． Ⅰ求证： Ⅱ若，求二面角的余弦值． 17.本小题分 已知，函数． Ⅰ证明存在唯一的极值点 Ⅱ若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围． 18.本小题分 已知圆，动圆过定点且与圆内切，圆心的轨迹为曲线． Ⅰ求曲线的方程 Ⅱ曲线上三个不同的动点，，满足与的倾斜角互补，且不与曲线的顶点重合，记关于轴的对称点为，线段的中点为，为坐标原点，证明：，，三点共线． 19.本小题分 设集合对于数列，如果，，则称为“平方差数列”． Ⅰ已知在数列中，，求数列的通项公式，并证明数列是“平方差数列” Ⅱ已知，判断是否为“平方差数列”说明理由 Ⅲ已知数列为“平方差数列”，求证：， 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：Ⅰ设质点移动到为事件，则向左移动次，向右移动次，． Ⅱ的可能取值为，，，，， ， ， ， ， 分布列如下： 所以期望 16.Ⅰ证明：因为，平面，平面，所以平面， 因为平面平面，平面，所以； Ⅱ解：过作，交于，因为，所以四边形为平行四边形， 所以，所以，于是， 取中点，中点，连接交于，连接、， 所以，，， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面， 因为，，所以，，所以四边形为平行四边形， 所以，，于是平面， 因为，所以， ... ...