2024/2025学年第一学期高三期中考试 数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知集合，，则的真子集的个数为（ ） A．7 B．8 C．16 D．15 2．在复平面内，复数对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．设，都是不等于1的正数，则“”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，则（ ） A． B． C． D． 5．已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（ ） A． B．在方向上的投影向量为 C．若，则 D．若，则 6．已知数列的前项和为，其中，且，则（ ） A． B． C． D． 7．函数，其中，其最小正周期为，则下列说法错误的是（ ） A． B．函数图象关于点对称 C．函数图象向右移个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为 D．若，则函数的最大值为 8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A．函数有两个零点 B．当时， C．的解集是 D．都有 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数，，则（ ） A．与的值域相同 B．与的最小正周期相同 C．曲线与有相同的对称轴 D．曲线与有相同的对称中心 10．已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A．若是等差数列，且，则 B．若是等比数列，且，则 C．若，则是等差数列 D．若是公比大于1的等比数列，则 11．已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，且，令，则下列说法正确的是（ ） A．函数是奇函数 B． C．函数的图象关于点对称 D． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，。 12．已知函数，若，，且，则的最小值是_____． 13．已知的外心为，内角，，的对边分别为，，，且．若，则_____． 14．若存在实数，使得对于任意的，不等式恒成立，则取得最大值时，_____． 四、解答题：本题共5小题，，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，则面积为，求、的值． 16．（15分）已知数列中，． （1）证明数列是等比数列； （2）若数列的通项公式为，求数列的前项和． 17．（15分）已知直三棱柱中，，，分别为和的中点，为棱上的动点，． （1）证明：平面平面； （2）设，是否存在实数，使得平面与平面所成的角的余弦值为？ 18．（17分）在平面直角坐标系中，，分别是椭圆的右顶点、上顶点，若椭圆的离心率为，且点到直线的距离为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，其中点在第一象限，点在轴下方且不在轴上，设直线，的斜率分别为，． ①求证：为定值，并求出该定值； ②设直线与轴交于点，求面积的最大值． 19．（17分）已知函数，且在区间上的最小值为0． （1）求实数的取值范围； （2）设函数在区间上的导函数为，对任意实数恒成立，则称函数在区间上具有性质． ①求证：函数在区间具有性质； ②记，其中，求证：． 高三数学参考答案 一、选择题 1-5 ADBDB 6-8 CDC 9 ABC 10 AB 11 BCD 12．8 13． 14． 四、解答题： 15．（13分）解：（1）由正弦定理得，， 又，， ，，， ，，． （2 ... ...
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