湖北省“云学名校联盟”2025届高三年级12月联考数学试题(PDF版，含答案)

湖北省“云学名校联盟”2025 届高三年级 12 月联考数学试题 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数 满足： = 1 2 ( 为虚数单位)，则| + | =( ) +2 A. 2√ 2 B. √ 5 C. √ 6 D. 2 2.已知集合 = { ∈ | 2 3 4 ≤ 0}， = { | = √ 1 ln( + 1)}，则 ∩ =( ) A. {1} B. { | 1 < ≤ 1} C. {0,1} D. {0,1,2} 3.已知 = ( 1,2)， = (3,1)，则< ， >的余弦值等于( ) √ 10 √ 2 √ 10 3√ 10 A. B. C. D. 10 10 10 10 4.已知直线 : + + + 2 = 0与 2 + 2 = 9相交于 、 两点，| |的最小值为( ) A. 6 B. 2√ 2 C. 3 D. 4 5.数列{ }的首项 1 = 1， 是数列{ }的前 项积， +1 = 2 ( ∈ )，则 2025 =( ) A. 21012×1014 B. 21012×1013 C. 21013×1014 D. 21010×1012 1 6.设 = √ 1.08 1， = ln1.04， = tan ，则( ) 25 A. < < B. < < C. < < D. < < cos ( ),1 < 2 7.已知函数 ( ) = { 2 ，若对任意的 ∈ [1, ]，都有| ( )| ≤ 4√ 3恒成立，则实数 的 2 ( ), 2 2 最大值为( ) 44 28 40 32 A. B. C. D. 3 3 3 3 8.在正四棱柱 1 1 1 1中，高 1为底面边长二倍， 、 分别是棱 1、 的中点，过 、 的 平面 平分正四棱柱的体积，则平面 与面 所形成二面角的正弦值是( ) √ 6 √ 30 √ 5 2√ 2 A. B. C. D. 6 6 3 3 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列选项中正确的是( ) 3 1 A. 已知事件 、 互斥， 、 至少有一个发生的概率为 ，且2 ( ) = ( )，则 ( ) = 4 4 B. 已知事件 、 满足 ( ) = 0.5， ( ) = 0.2，若 ，则 ( ) = 0.1 第 1 页，共 9 页 C. 随机变量 的概率分布列为 ( = ) = cos ，( = 1,2)，其中 是常数，则 = √ 3 1 3 9 D. 有五个不同的科目，甲、乙两人分别选取三科进行学习，则两人选取的科目不完全相同的概率为 10 1 10.已知抛物线 : 2 = 的焦点坐标为( , 0)， 、 为 上两点， ( 1,0)， = (0 < < 1)，则( ) 4 A. = 2 B. > 6 5 1 C. 若线段 的中点 的坐标为( , 0)，则 = 4 2 1 √ 2 D. 当 = 时，若 、 在 轴上方，则抛物线上存在三个不同的点 ，使得 2 △ = 32 11.已知定义在 上的函数 ( )，其导函数为 ′( )，下列说法正确的是( ) 5 1 A. 若 (1) = ，且 ′( ) < 2，则不等式 ( ) < 2 + 的解集为( ∞, 1) 2 2 B. 若 (1) = 5，且 ( ) > 3 ′( )，则不等式 ( ) > 3 + 2 的解集为(1, +∞) C. 若 ( )为奇函数，当 > 0时， ( )图像连续且有 ( ) + ln ′( ) < 0成立，则不等式(9 2 1) ( ) > 0 1 1 解集为( ∞, ) ∪ (0, ) 3 3 D. 若 ( ) ( ) = 2sin ，且当 > 0时， ′( ) cos < 0.则不等式 ( ) ( ) < 0的解集为( , +∞) 2 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.设集合 = {1,2,3,4}， 为集合 的非空子集，且 中所有元素之和为偶数，则满足条件的集合 的个数 为 ． 13.已知函数 ( ) = |lg( 1)|，满足 ( ) = ( )，且 ≠ ，则 + 4 的最小值为 ． 2 2 14.已知 、 是双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右顶点，点 在 右支上，在△ 中，∠ = 135 ， | | + | | = √ 2| |，则双曲线 的离心率为 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 第 2 页，共 9 页 15.(本小题12分) 如图，四边形 是边长为2的正方形， ⊥平面 ， // ， = 2 = 2 (1)求证： //平面 ; (2)求平面 与平面 夹角的余弦值． 16.(本小题12分) 已知函数 ( ) = ln ， ′( )是 ( )导函数，设0 < < ． (1)讨论 (1 ) + ( )的单调性; (2)证明：( ) ′( ) < ( ) ( ) < ( ) ′( )． 17.(本小题12分) 在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 cos + √ 3 sin = + (1)求角 ; (2)已知 = √ 3，角 的角 ... ...