【模型攻关】2025年中考复习培优专项训练：正方形中的十字架模型 (含答案)

中小学教育资源及组卷应用平台 【模型攻关】2025年中考复习培优专题训练 正方形中的十字架模型 正方形十字模型详解 正方形十字模型是数学中的经典概念，涉及正方形的两组对边取点并相连，探究所得两条线段的关系。 ①当两条线段垂直时，它们相等。 ②当两条线段相等时，它们垂直。 一．选择题 1．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G，若BC＝4，DE＝AF＝1，则CG的长是（　　） A．2 B． C． D． 2．如图，点E、F、G分别是正方形ABCD的边AD、BC、AB上的点，连接DG，EF，GF．且EF＝DG，DE＝2AG，∠ADG的度数为α，则∠EFG的度数为（　　） A．α B．2α C．45°﹣α D．45°+α 3．如图，正方形ABCD中，AE＝DF，AF与BE相交于点H，点O为BD中点，连结OH，若DG＝OG，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AD、CD上，且AE＝DF，连接AF与BE相交于点G．若AG+BG＝6，空白部分面积为10.5，则AB的长为（　　） A．3 B． C．2 D． 5．如图所示，E、F、G、H分别为正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DHAB，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为CD的中点，AE和BF相交于点G，延长CG交AB于点H，下列结论： ①AE＝BF； ②∠CBF＝∠DGF； ③； ④． 其中结论正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二．填空题 7．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD上的点，AE与BF相交于点G，连接AC交BF于点H．若CE＝DF，BG＝GH，AB＝2，则△CFH的面积为 　 　． 8．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，AB上，且DE＝DF，AC分别交DE，DF于点M，N．设△DMN和△AFN的面积分别为S1和S2，若S2＝2S1，则tan∠ADF的值为 　 　． 9．如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，AD上的点，且CE＝DF，AE与BF相交于O．下列结论：①AE＝BF且AE⊥BF；②S△AOB＝S四边形DEOF；③AD＝OE；④连接OC，当E为边DC的中点时，tan∠EOC值为，其中正确的结论有 　 　． 10．如图，现有边长为4的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点（不与点A点D重合），将正方形纸片沿EF折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，连结BP、BH，下列结论： ①BP＝EF； ②当P为AD中点时，△PAE三边之比为3：4：5； ③∠APB＝∠BPH； ④△PDH周长等于8． 其中正确的是 　 　（写出所有正确结论的序号） 三．解答题 11．如图，A，B，C，D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上，仓库P和Q分别位于AD和DC上，且PD＝QC．问题：此时BP与AQ有怎样的关系？请说明理由． 12．如图，有两个动点E，F分别从正方形ABCD的两个顶点B，C同时出发，以相同速度分别沿边BC和CD移动，问：在E，F移动过程中，AE与BF的位置和大小有什么关系吗？并给予证明． 13．在正方形ABCD中，P是边BC上一动点（不与点B、C重合），E是AP的中点， 过点E作MN⊥AP，分别交AB、CD于点M，N． （1）判定线段MN与AP的数量关系，并证明； （2）连接BD交MN于点F． ①根据题意补全图形； ②用等式表示线段ME，EF，FN之间的数量关系，直接写出结论 　 　． 14．如图1，在正方形ABCD中，，点E在边BC上，连接AE，且∠BAE＝30°，点F是AE的中点． （1）求AE的长； （2）过点F作直线GH，分别交AB，CD于点G，H，且GH＝AE，求AG的长； （3）如图2，过点F作AE的垂线，分别交AB，BD，CD于点M，O，N，连接OE，求∠AEO的度数． 15．问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题： 如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M．那么AE与BF相等吗？ （1）直接判断：AE 　 　BF（填“＝”或“≠”）； 在“问题情境”的基础上 ... ...