2025年九年级中考数学二轮复习专题：函数中的新定义综合问题训练(含解析)

2025年九年级中考数学二轮复习专题：函数中的新定义综合问题训练 1．我们不妨称P（m，m+2）为“长梅点”，例如（0，2）就是“长梅点”．请根据约定回答下列问题． （1）下列函数图象中存在“长梅点”的是 　 　； ①y＝x﹣2；②；③y＝x2+2x+3． （2）在反比例函数的图象上存在三、、，满足（t，s）、（s，r）都是“长梅点”且，求a的取值范围； （3）设Q是二次函数y＝x2图象上的“长梅点”，一次函数y＝kx+b与二次函数y＝x2相交于点M、N（不妨设M在N的左边），如果始终保持MQ⊥NQ，那么这样的一次函数是否经过某个定点，如果存在这样的定点，请直接写出它的坐标；如果不存在这样的定点，请说明理由． 2．我们约定，在平面直角坐标系中，对于不同的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），如果满足y1﹣x1＝y2﹣x2，那么称P，Q两点互为“等差点”． （1）请判断在点A（2，﹣1），B（1，4），C（﹣2，﹣1）中，哪些点与点D（﹣1，2）互为“等差点”？ （2）已知点E在直线y＝x﹣2上，点F在曲线y＝（k为常数，且k≠±1）上，且E，F两点互为“等差点”．请求出点F的坐标（用含k的代数式表示）； （3）已知抛物线C：y1＝ax2+bx+2（a，b为常数且a≠0，b≠0）的顶点为点G，与x轴交于M，N两点，GM⊥GN，P，Q两点分别在抛物线C：y1＝ax2+bx+2和直线l：y2＝x﹣3上，如果P，Q两点互为“等差点”，且P，Q两点的横坐标是一元二次方程ax2+＝0的两根，求抛物线C和直线l的解析式． 3．我们定义：点P在一次函数y＝ax+b上，点Q在反比例函数上，若存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数y＝ax2+bx+c为一次函数和y＝ax+b反比例函数的“向光函数”，点P称为“幸福点”．例如：点P（﹣1，﹣2）在y＝x﹣1上，点Q（1，﹣2）在上，P、Q两点关于y轴对称，此时二次函数y＝x2﹣x﹣2为一次函数y＝x﹣1和反比例函数的“向光函数”，点P（﹣1，﹣2）是“幸福点”． （1）判断一次函数y＝x+1和反比例函数是否存在“向光函数”，若存在，请求出“幸福点”坐标；若不存在，请说明理由； （2）若一次函数y＝x﹣k与反比例函数只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式； （3）已知一次函数y＝ax+b与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“向光函数”y＝ax2+bx+c与轴x交于C、D两点（C在D左侧），若有以下条件： ①a+b+c＝0②“向光函数”经过点（﹣3，4），③a＞b＞0，记四边形ACBD的面积为S，求的取值范围． 4．若定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数”y＝x+1，其“明德点”为（1，2）． （1）①判断：函数y＝2x+3 　 �———�明德函数”（填“是”或“不是”）； ②函数y＝x2的图象上的明德点是 　 　； （2）若抛物线上有两个“明德点”，求m的取值范围； （3）若函数的图象上存在唯一的一个“明德点”，且当﹣1≤m≤3时，n的最小值为k，求k的值． 5．新定义：如果实数m，n满足m﹣n＝﹣2时，则称P（m，n）为“基础点”，称Q（m﹣1，1﹣n）为“创新点”．例如，P（1，3）是“基础点”，O（0，﹣2）是“创新点”． （1）求正比例函数y＝x图象上“创新点”的坐标； （2）若点A是反比例函数y＝图象上唯一的“基础点”，点B，C是反比例函数y＝函数图象上的“创新点”，点M是反比例函数y＝图象上的动点．求当△MBC面积与△ABC的面积相等时点M的坐标； （3）已知点D（x1，y1），E（x2，y2）是抛物线y＝ax2+（2b﹣1）x+3c﹣2上的“创新点”，若a+b+c＝0，且a＞3b＞c，求|x1﹣x2|的取值范围． 6．我们称关于x的二次函数y＝px2+qx+k为一次函数y＝px+q和反比例函数的“共同体”函数．一次函数y＝px+q和反比例函数的交点称为二次函数y＝px2+qx+k的“共赢点”． （1）一次函数y＝﹣x+3 ... ...