8．2 立方根 1．立方根： (1)定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫作a的__立方根__或__三次方根__．这就是说，如果x3＝a，那么x叫作a的__立方根__．例如，53＝125，那么5是125的立方根． (2)表示方法： 一个数a的立方根，用符号“____”表示，读作“三次根号a”，其中a是__被开方数__，3是__根指数__． (3)性质： ①正数的立方根是__正数__， ②负数的立方根是__负数__， ③0的立方根是__0__． 2．求一个数的立方根的运算，叫作__开立方__． 考点1 求一个数的立方根 【典例1】求下列各数的立方根： (1)0.125；(2)－64；(3)3；(4)0. 解：(1)∵0.53＝0.125，∴0.125的立方根是0.5，即＝0.5； (2)∵(－4)3＝－64，∴－64的立方根是－4，即＝－4； (3)∵3＝，而＝， ∴3的立方根是，即＝； (4)∵03＝0， ∴0的立方根是0， 即＝0. 求一个数的立方根，应先找到一个立方等于所求数的数，再求立方根． 【变式训练】 1．求下列各式中的x. (1)8x3＋125＝0. (2)(x＋1)3－8＝0. (1)∵8x3＋125＝0， ∴8x3＝－125， ∴x3＝－， ∴x＝－； (2)∵(x＋1)3－8＝0. ∴(x＋1)3＝8， ∴x＋1＝2，∴x＝1. 考点2 与立方根有关的综合问题 【典例2】a＋1的算术平方根是2，a－b－1是27的立方根，则a－b的平方根为__±2__． 解析：∵a＋1的算术平方根是2，a－b－1是27的立方根，∴a＋1＝4，a－b－1＝3， 解得a＝3，b＝－1， ∴a－b＝3－(－1)＝3＋1＝4. ∵4的平方根是±2， ∴a－b的平方根为±2. 本题考查了算术平方根与立方根，平方根，理解相关概念，灵活应用求出a，b的值是解题的关键. 【变式训练】 2．(湖南衡阳衡南县校级月考)已知实数x，y满足＋(6－y)2＝0，则x＋y的立方根为__2__． 知识点1 立方根的定义及计算 1．－8的立方根是( C ) A．±2 B．2 C．－2 D．不存在 2．的立方根是__2__． 3．(安徽淮北月考)计算： (1)；(2). (1)原式＝＝； (2)原式＝＝＝－. 知识点2 立方根的性质 4．(广西崇左宁明县期中)下列说法正确的是( B ) A．负数没有立方根 B．任意实数都有立方根 C．任意实数都有平方根和立方根 D．正数的平方根和立方根都只有一个 5．(内蒙古赤峰松山区期末)一个数的平方根和立方根都等于它本身，这个数是__0__． 知识点3 用计算器求立方根及估算 6．(山东烟台莱州市期末)用我们数学课本上采用的科学计算器计算下列式子，其按键顺序正确的是( C ) A．求按键： B．求按键： C．求＋1按键： D．求－π按键： 求的按键顺序是：2ndF，，1，.，2，＝，故选项A不正确，不符合题意；求的按键顺序是：，(，2，÷，3，)，＝，故选项B不正确，不符合题意；求＋1的按键顺序是：，3，＋，1，＝，故选项C正确，符合题意；求－π的按键顺序是：2ndF，，(－)，2，2ndF，－，π，＝.故选项D不正确，不符合题意．故选C. 7．用计算器计算： (1) ＋23≈__9.82__(结果精确到0.01)； (2)≈__2.92__(精确到百分位). 易错易混点 对立方根分析不全面导致漏解 8．若一个数a的立方根就是它本身，数b的算术平方根是2，则a＋b的值是__5，3，4__． 9．(山西吕梁交口县期末)2024年的母亲节来临之际，小康和小明分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小康制作的正方体礼盒的表面积为150 cm2，而小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小61 cm3，则小明制作的正方体礼盒的表面积为( C ) A．36 cm2 B．54 cm2 C．96 cm2 D．144 cm2 设小康制作的正方体礼盒的边长为a，则6a2＝150，解得a＝5，∴小康制作的正方体礼盒的体积为：a3＝125 cm3.∵小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小61 cm3，∴小明制作的正方体礼盒的体积为125－61＝64 cm2，∴小明制作的正方体礼盒的边长为＝4( ... ...
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