专题(二) 圆的有关性质 1. 如图,AB为☉O的弦,且点C在AB上.若AC=6,BC=2,且圆心O到AB的距离为3,则OC的长为 ( ) A. 3 B. 4 C. D. 2. (2023·吉林)如图,AB、AC是☉O的弦,OB、OC是☉O的半径,P为OB上任意一点(点P不与点B重合),连接CP.若∠BAC=70°,则∠BPC的度数可能是 ( ) A. 70° B. 105° C. 125° D. 155° 3. 已知点A、B、C在☉O上.若∠AOC=80°,则∠ABC的度数为 ( ) A. 40° B. 100° C. 40°或140° D. 40°或100° 4. (2024·西藏)如图,AC为☉O的直径,点B、D在☉O上,∠ABD=60°,CD=2,则AD的长为 ( ) A. 2 B. 2 C. 2 D. 4 5. 如图,矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,点D在OA的延长线上.已知A(2,0)、D(4,0),以点O为圆心、OD为半径的弧经过点B,交y轴的正半轴于点E,连接DE、BE,则∠BED的度数是 ( ) A. 15° B. 22.5° C. 30° D. 45° 6. (2024·宜宾)如图,△ABC内接于☉O,BC为☉O的直径,AD平分∠BAC,交☉O于点D,则的值为 ( ) A. B. C. 2 D. 2 7. (2025·苏州期末)四个半径为5的等圆与直线l的位置关系如图所示,若某个圆上的点到直线l的最大距离为8,则这个圆可能是 . 8. (2023·襄阳)如图,四边形ABCD内接于☉O,点E在CD的延长线上.若∠ADE=70°,则∠AOC= °. 9. 已知△ABC的三边长a、b、c满足a+b2+|c-6|+28=4+10b,则△ABC的外接圆的半径为 . 10. 如图,AC是☉O的弦,AC=5,B是☉O上的一个动点,且∠ABC=45°,M、N分别是AC、BC的中点,则MN长的最大值是 . 11. 如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,以点A为圆心,AB为半径画弧,交AC的延长线于点D,过点C作CE∥AB,交于点E,连接BE,则的值为 . 12. (新考法·开放题)(2024·潍坊)如图,☉O是△ABC的外接圆,AO∥BC,连接CO并延长,交☉O于点D,分别以点A、C为圆心,大于AC的长为半径作弧,并使两弧交于圆外一点M,直线OM交BC于点E,连接AE.有下列结论:① =;② AB=OE;③ ∠AOD=∠BAC;④ 四边形AOCE为菱形.其中,一定正确的是 (填序号). 13. 如图,CD为☉O的直径,弦AB⊥CD,垂足为E,=,CE=1,AB=6,求弦AF的长. 第13题 14. 如图,AB为☉O的直径,点C在☉O上,延长BC至点D,使得DC=CB,连接DA并延长,与☉O交于点E,连接AC、CE. (1) 求证:∠B=∠D; (2) 若AB=4,BC-AC=2,求CE的长. 第14题 专题(二) 圆的有关性质 1. D 2. D 3. C 4. C 5. C 6. A 解析:如图,连接BD、CD,延长AB到点A',使得A'B=AC,连接A'D.∵ BC是☉O的直径,∴ ∠BAC=∠BDC=90°,∴ ∠ADC+∠BDA=90°.∵ AD平分∠BAC,∴ ∠BAD=∠CAD=45°,∴ =,∴ BD=CD.∵ 四边形ABDC内接于☉O,∴ ∠ACD+∠ABD=180°.∵ ∠ABD+∠A'BD=180°,∴ ∠A'BD=∠ACD,∴ △A'BD≌△ACD,∴ A'D=AD,∠A'DB=∠ADC,∴ ∠A'DB +∠BDA=90°,即∠A'DA=90°.∵ 在Rt△A'DA中,A'D2+AD2=A'A2,∴ A'A2=2AD2.∴ A'A=AD,即AB+AC=AD,∴ =. 7. ☉O3 8. 140 9. 10. 解析:作直径AB',连接B'C,当点B、B'重合时,AB最长,此时MN的长取得最大值. 11. 12. ①②④ 解析:∵ AO∥BC,∴ ∠OAC=∠ACB.∵ OA=OC,∴ ∠OAC=∠ACO,∴ ∠ACB=∠ACO,∴ =.故①正确.连接AD.∵ =,∴ AB=AD.根据作图步骤,得点M在AC的垂直平分线上.∵ OA=OC,∴ 点O在AC的垂直平分线上,∴ 直线OE是AC的垂直平分线,∴ AE=CE,∴ ∠EAC=∠ACB,∴ ∠EAC=∠ACO,∴ AE∥OC,∴ 四边形AOCE为平行四边形.∵ OA=OC,∴ 四边形AOCE为菱形.故④正确.∴ AE=OC.∵ OC=OD,∴ AE=OD,∴ 四边形AEOD是平行四边形,∴ AD=OE,∴ AB=OE.故②正确.根据已知条件,无法说明∠AOD=∠BAC的正确性. 13. 如图,连接OA、OB、OF,设OB交AF于点G.∵ AB⊥CD,CD为☉O的直径,∴ AE=BE=AB=3.设☉O的半径为r,则OE=r-1,OA=r.在Rt△OAE中,由勾股 ... ...
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