高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 第三章3.2.1 双曲线及其标准方程 一、单选题 1.(2025四川宜宾期中)与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ） A.一个椭圆上 B.双曲线的一支上 C.一条直线上 D.一个圆上 2.（2025四川绵阳期中）已知定点，，动点满足，则动点的轨迹为（ ） A.双曲线的上支 B.双曲线的下支 C.双曲线的左支 D.轴负半轴上的射线 3.(2025福建长泰实验中学期中)双曲线的左、右两个焦点分别是与，焦距为8，是双曲线左支上的一点，且，则的值为（ ） A.1 B.9 C.1或9 D.9或13 4.与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 5.(2024黑龙江牡丹江第一高级中学期中)已知双曲线的左焦点为，右焦点为，为坐标原点，为双曲线右支上的一点，且，的周长为10，为线段的中点，则=（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 6.(2025广东中山一中段考)已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 7.平面内到两定点，的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹可能是（ ） A.椭圆 B.一条直线 C.两条射线 D.双曲线 8.(2025浙江温州十校联合体期中)在平面直角坐标系中，已知点，，是平面内的一个动点，则下列说法中正确的是（ ） A.若，则点的轨迹是双曲线 B.若，则点的轨迹是椭圆 C.若，则点的轨迹是一条直线 D.若，则点的轨迹是圆 9.（2025安徽宣城三校联考）已知方程表示曲线，则下列为真命题的是（ ） A.当时，曲线一定是椭圆 B.当或时，曲线一定是双曲线 C.若曲线是焦点在轴上的双曲线，则 D.若曲线是焦点在轴上的双曲线，则 三、填空题 10.（2025江苏南通期中）若点在运动过程中总满足关系式，则点的轨迹方程为_____。 11.(2025江苏徐州期中)双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为_____。 12.(2025河北保定六校联盟期中) 是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值为_____。 四、解答题 13.根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)半焦距为，经过点，且焦点在轴上； (2)，经过点，焦点在轴上。 14.已知双曲线 的左、右焦点分别为 、。 (1) 若双曲线 与椭圆 有共同的焦点，且双曲线 过点 ，求该双曲线的标准方程； (2) 若 ，点 在双曲线右支上，且 ，求 的面积。 15.(2025江苏扬州中学期中)已知曲线。 (1)若曲线为双曲线，求的取值范围； (2)若，点在曲线上，且点在第一象限内，，，，求点的横坐标。 一、单选题（每题5分，） 1.答案：B 解析：先确定两定圆的圆心与半径： 圆的圆心，半径； 圆配方得，圆心，半径。 设动圆半径为，则动圆到的距离为，到的距离为，两者之差为（定值）。 又，符合双曲线一支的定义（平面内到两定点距离差为定值，且定值小于两定点间距），故动圆圆心在双曲线的一支上。 2.答案：A 解析：定点、为双曲线焦点，在轴上，（即，）。 动点满足（即，），且，符合双曲线定义。 因，说明，动点更靠近上焦点，故轨迹为双曲线的上支。 3.答案：B 解析：双曲线的焦距为8，即，。 由双曲线性质，代入，得，故。 因在双曲线左支上，根据双曲线定义：（左支上点到右焦点距离减去左焦点距离为）。 已知，代入得（左支上点到右焦点距离不可能小于，故排除“1”）。 4.答案：A 解析：已知双曲线的焦点满足，故公共焦点的。 设所求双曲线方程为（焦点在轴），则。 双曲线过点，代入方程得，即。 联立，解得，，故所求方程为。 5.答案：B 解析：右焦点，故，。 由，得；又周长为10，故。 因是中点，是中点，根据三角形中位线定理，。 6.答案：C 解析：焦点、在轴上，故。 由，得，。 由双曲线性质，故标准方程为。 二、多选题 7.答案：CD 解析：两定点、的间距（即），设距离差绝对值为： 若：符合双曲线定义，轨迹为双曲线； 若：轨迹为以、为端点的两 ... ...
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