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课件网) 8.6.2 直线与平面垂直 第2课时 直线与平面垂直的性质定理 课标定位 素养阐释 1.借助长方体,通过直观感知,归纳并证明直线与平面垂直的性质定理. 2.在具体问题中,能利用直线与平面垂直的性质定理分析解决有关问题. 3.理解及掌握直线与平面、两个平行平面间的距离的定义,并能根据定义通过数学运算求两个平行平面间的距离. 自主预习·新知导学 合作探究·释疑解惑 思 想 方 法 随 堂 练 习 自主预习·新知导学 一、直线与平面垂直的性质定理 1.大家都读过茅盾先生的《白杨礼赞》,在广阔的西北平原上,矗立着一排排白杨树,它们像哨兵一样守卫着祖国疆土.一排排的白杨树,它们都垂直于地面,那么它们之间的位置关系如何呢 提示:平行. 2.在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行,那么在空间中,垂直于同一个平面的两条直线有怎样的位置关系 提示:平行. 3.(1)直线与平面垂直的性质定理 (2)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的一种方法. (3)直线与平面垂直的性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系. 4.已知△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC, m⊥AC,则不重合的直线l,m的位置关系是( ) A.相交 B.异面 C.平行 D.不确定 解析:∵直线l⊥AB,l⊥AC,且AB∩AC=A, ∴l⊥平面α,同理m⊥平面α. 由线面垂直的性质定理可得l∥m. 答案:C 二、直线与平面、两个平行平面间的距离的定义 1.柱体的体积公式V=Sh(S为底面面积,h为高),柱体的高就是底面间的距离吗 提示:是的. 2.(1)一条直线与一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线到这个平面的距离. (2)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等,我们把它叫做这两个平行平面间的距离. 3.若直线AB∥平面α,且点A到平面α的距离为2,则点B到平面α的距离为 . 答案:2 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”. (1)若l⊥β,且α∥β,则l⊥α.( √ ) (2)垂直于同一条直线的两平面平行.( √ ) (3)如果一条直线上有两点到一平面的距离相等,那么直线不一定与平面平行.( √ ) (4)如果一个平面内任意一点到另一个平面的距离相等,那么这两个平面平行.( √ ) 合作探究·释疑解惑 探究一 探究二 探究三 探究一 直线与平面垂直的性质定理 【例1】 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD是矩形,AE⊥PD交PD于点E,l⊥平面PCD,求证: l∥AE. 证明:∵PA⊥平面ABCD,CD 平面ABCD,∴PA⊥CD. ∵四边形ABCD为矩形,∴CD⊥AD. 又PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD. ∵AE 平面PAD,∴AE⊥CD. 又AE⊥PD,PD∩CD=D,∴AE⊥平面PCD. ∵l⊥平面PCD,∴l∥AE. 1.本例应用线面垂直的性质达到证明线线平行的目的,即线面垂直的性质提供了线线平行的依据. 2.在空间证明线线平行的方法有:定义法、基本事实4、线面平行的性质定理、面面平行的性质定理、线面垂直的性质定理等. 【变式训练1】 如图,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,EF与异面直线AC,A1D都垂直相交.求证:EF∥BD1. 证明:如图所示,连接AB1,B1C,BD, ∵DD1⊥平面ABCD,AC 平面ABCD, ∴DD1⊥AC. 又AC⊥BD,DD1∩BD=D, ∴AC⊥平面BDD1, ∵BD1 平面BDD1,∴AC⊥BD1. 同理可证BD1⊥B1C,又AC∩B1C=C,∴BD1⊥平面AB1C. ∵EF⊥A1D,且A1D∥B1C,∴EF⊥B1C. 又EF⊥AC,AC∩B1C=C,∴EF⊥平面AB1C,∴EF∥BD1. 探究二 直线与平面垂直的性质定理的运用 【例2】 如图,已知矩形ABCD,过点A作SA⊥平面AC,再过点A作AE⊥SB交SB于点E,过点E作EF⊥SC交SC于点F.求证: AF⊥SC. 证明:∵SA⊥平面AC,BC 平面AC,∴SA⊥BC. ∵四边形ABCD为矩形,∴AB⊥BC. 又SA∩AB=A,∴BC⊥平面SAB. ∵AE 平面SAB,∴BC⊥AE. 又SB ... ...
