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课件网) 8.6.3 平面与平面垂直 第2课时 平面与平面垂直的性质定理 课标定位 素养阐释 1.探索并理解平面与平面垂直的性质定理,并能运用定理分析解决有关问题. 2.在应用平面与平面垂直的性质定理的过程中,提升直观想象及逻辑推理素养. 3.理解直线、平面之间的位置关系的相互转化. 自主预习·新知导学 合作探究·释疑解惑 思 想 方 法 随 堂 练 习 自主预习·新知导学 一、平面与平面垂直的性质定理 1.教室内的墙面所在的平面与地面所在的平面垂直.要在墙面上画一条直线与地面垂直,如何画 提示:只需在墙面上画出地面与墙面的交线的垂线即可. 2.平面与平面垂直的性质定理 3.设l是直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法正确的是( ) A.若l∥α,l∥β,则α∥β B.若l∥α,l⊥β,则α⊥β C.若α⊥β,l⊥α,则l⊥β D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β 解析:对于选项A,两平面可能平行也可能相交;对于选项C,直线l可能在β内也可能平行于β;对于选项D,直线l在β内或平行于β或与β相交. 答案:B 二、直线、平面之间的位置关系的相互转化 1.如何证明两个平面垂直 一般先证明什么 提示:要证明两个平面垂直,先证明线线垂直,再证明线面垂直,最后证明面面垂直. 2. 3.如图,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,垂足为B,直线a β,a⊥AB,则直线a与直线l的位置关系是 . 解析:∵EA⊥α,平面α∩平面β=l,即l α, ∴l⊥EA.同理l⊥EB. ∵EA∩EB=E,∴l⊥平面EAB. ∵EB⊥β,a 平面β,∴EB⊥a. 又a⊥AB,EB∩AB=B,∴a⊥平面EAB,∴a∥l. 答案:平行 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”. (1)两个平面垂直,则经过第一个平面内的点作第二个平面的垂线必在第一个平面内.( √ ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行.( × ) (3)两个相交平面同时垂直于第三个平面,则它们的交线垂直于第三个平面.( √ ) (4)若直线a⊥平面α,直线a⊥直线b,则直线b∥平面α.( × ) 合作探究·释疑解惑 探究一 探究二 探究三 探究一 平面与平面垂直的性质定理 【例1】 如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,四边形ABCD是∠DAB=60°的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.若G为AD边的中点, 求证:(1)BG⊥平面PAD; (2)AD⊥PB. 证明:(1)如图,连接BD. ∵四边形ABCD是菱形,且∠DAB=60°, ∴△ABD是正三角形. ∵G为AD中点,∴BG⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD, BG 平面ABCD,∴BG⊥平面PAD. (2)由(1)知BG⊥AD.连接PG. ∵△PAD为正三角形,G为AD的中点,∴PG⊥AD. 又PG∩BG=G,∴AD⊥平面PBG. ∵PB 平面PBG,∴AD⊥PB. 1.利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:(1)两个平面垂直;(2)直线必须在其中一个平面内;(3)直线必须垂直于它们的交线. 2.在运用面面垂直的性质定理时,若没有与交线垂直的直线,一般需作辅助线.基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而转化为线线垂直问题. 探究二 平面与平面垂直的性质定理的应用 【例2】 如图,边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直,AD与CE的交点为M,AC⊥BC,且AC=BC. (1)求证:AM⊥平面EBC. (2)求直线EC与平面ABE所成角的正切值. (1)证明:∵平面ACDE⊥平面ABC, 平面ACDE∩平面ABC=AC,BC 平面ABC,BC⊥AC, ∴BC⊥平面ACDE. 又AM 平面ACDE,∴BC⊥AM. ∵四边形ACDE是正方形,∴AM⊥CE. 又BC∩CE=C,BC,CE 平面EBC,∴AM⊥平面EBC. (2)解:如图,取AB的中点F,连接CF,EF. ∵EA⊥AC,平面ACDE⊥平面ABC,平面ACDE∩平面ABC=AC, ∴EA⊥平面ABC. ∵CF 平面ABC,∴EA⊥CF.又AC=BC,∴CF⊥AB. ∵EA∩AB=A,∴CF⊥平面AEB, ∴∠CEF即为直线EC与平面ABE ... ...
