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课件网) 第5章 三角函数 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 人教A版2019高中数学必修第一册 正弦函数、余弦函数的性质 【导学1】一般的函数图像都有哪些性质可以研究？ 【解答】图像特点、单调性、奇偶性、最值(极值)等等 【1】周期性：观察正弦函数的图像，可以发现，在图像上，横坐标每隔2π个单位 长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的 变化规律.实际上，这一点既可以从定义中看出，也能从诱导公式中得到反映.即自 变量 的值加上2π的整数倍时所对应的函数值，与 所对应的函数值相等.数学 上用周期性来定量地刻画这种“周而复始”的规律. 【导学2】正弦函数 和余弦函数 的定义域和值域是什么？ 【解答】定义域都是R，值域都是[-1，1] 正弦函数、余弦函数的性质 【定义】一般地，设函数 的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一 个 都有 ，且 .那么函数 就叫做 周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期. 周期函数的周期不止一个.例如2π，4π，6π以及-2π，-4π，-6π等.都是正弦 函数的周期. 如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数 就叫做 的最小正周期. 根据上述定义，有如下结论： 【1】正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的的周期，最小正周期是2π 【2】余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的的周期，最小正周期是2π 正弦函数、余弦函数的性质 【周期函数的理解】 ①对周期函数与周期定义中的“当 取定义域内的每一个值时”，要特别注意其中 “每一个”的要求.如果只是对某些 有 ，那么T就不是 的周期. ②自变量 本身加的常数才是最小正周期.如 中T不是最小正周 期，因为 ，所以 才是最小正周期. ③周期函数的周期不唯一.若T是函数 的最小正周期，则 也是 函数 的周期. ④并不是所有的周期函数都有最小正周期.例如，对于函数 所有非零实数T都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小 正周期. 正弦函数、余弦函数的性质 【例1】求下列函数的周期： 【解】 由周期函数的定义可知，原函数 的周期为. 令由得，且的周期为，即 于是所以由周期函数的 定义可知，原函数的周期为π. 奇偶性 【探究】观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线 关于y轴对称.所以正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数. 【注意】①判断函数的奇偶性时，一定要先判断函数的定义域是否关于原点对称， 只要定义域不关于原点对称，那么这个函数肯定不具备奇偶性. ②由奇偶性我们知道正弦曲线关于原点(0,0)对称，余弦曲线关于y轴(x=0) 对称. ③正弦曲线和余弦曲线即是中心对称图形，又是轴对称图形. Ⅰ.函数的对称轴是直线，对称中心是. Ⅱ.函数的对称轴是直线，对称中心是. 【1】等式是否成立？如果这个成立，能否说是正弦函数 的一个周期？为什么？ 【解】等式成立，但不能说是正弦函数 的一个周期，因为对定义域内任意， 不一定等于， 如，所以不是正弦函数的一个周期. 【2】求下列函数的周期 【解】 因为 由周期函数的定义可知，原函数的周期为 因为 由周期函数的定义可知，原函数的周期为 【注意】本题也可以直接用公式求解： 【3】下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？ 【解】(1)奇函数 (2)偶函数 (3)奇函数 (4)奇函数 探究与发现 【探究】从前面的例子可以看出，函数及函数 （其中，，为常数，且，）的周期仅与自变量的系数有关.那么， 如何用自变量的系数表示上述函数的周期呢？ 【函数和函数的周期】 事实上，令，那么由得，且函数及函数 的周期都是 因为 ，所以自变量增加，函数值 就重复出现，并且增加量小于时，函数值不会重复出现.即是使得等 ... ...
