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课件网) 第5章 三角函数 5.1.1 任意角 人教A版2019高中数学必修第一册 角的定义 【导入】现实生活中随处可见超出0°~360°范围的角.例如体操中的“前空翻转体 540度”“后空翻转体720度”等动作.这里不仅角度超出了0°~360°，并 且旋转的方向也不相同. 【探究】如图是两个咬合的齿轮旋转的示意图，可以看出两 个齿轮旋转的方向刚好相反，联想到角的旋转定义 (一个角的大小取决于绕顶点旋转的的射线旋转的角度)，我们知道，要准确描述这些现象， 不仅要知道旋转的度数，还要知 道旋转的方向，这就需要我们对 角的概念加以推广. 角的分类 【定义】我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺 时针方向旋转形成的角叫做负角. 如果一条射线没有任何旋转，那么它就 形成了一个零角.零角的始边和终边重合，如果 是零角，那么 . 左图中的角是一个正角，它等于730°.右图中，正角 ，负角 ， ，正常情况下，如果以零时为起始位置，那么钟表的 时针与分针在旋转时形成的角总是负角. 730° 为了简单起见，在不引起混淆的情况下，角 或∠ 可以简记为 相等角、角的加减 【1】设∠α由射线OA绕端点O旋转而成，∠β由射线OA绕端点O旋转而成.如果它们 的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α=β. 设α，β是任意角，我们规定：把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角 是α+β. 类似于实数t的相反数是-t，我们引入角α的相反角的概念. 如图：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两 个角叫做互为相反角.角α的相反角记为-α，则α-β=α+(-β). 于是角的减法可以转化为角的加法，如图： α β α+β α α -α -α 30° -120° O A 相等角、角的加减 【总结】 （1）角的概念推广后，角度的范围不再局限于0°~360° （2）确定任意角的度数既要知道旋转量，又要知道旋转方向，如顺时针旋 转30°和逆时针旋转30°缩成的角是不同的，它们互为相反角. （3）用图像表示角时，箭头的方向体现角的正负，因此箭头不能少. （4）角的概念推广后，角的加减可以类比正负数的加减规则. 象限角与轴线角 【定义】我们通常在坐标系内讨论角.为了方便，我们把角的顶点固定在原点，角 的终边始终与 轴的非负半轴重合. 那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角.如下图左 边的角α就是第一象限角，角β就是第三象限角. α β 如果角的终边在坐标轴上，那么它就不属于任何一个象限，此时我 们称这个角为轴线角.如上边右图的角γ. γ 象限角与轴线角 【问题】锐角，第一象限角，小于90°的角，它们之间的区别是什么？ α=390° 【答】①第一象限角不一定是锐角，如图左 ②锐角是大于0°且小于90°的角，一定是第一象限角，如图中 30° 75° ③小于90°的角还包括零角和负角，如图右 α=0° β=-130° 【问题】把角放在坐标系中之后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应，反 过来，对于直角坐标系内的任意一条射线OB，以它为 终边的角是否唯一？ 答案是否定的.那么终边相同的角有什么关系？ 终边相同的角 30° O B 【答】不难发现，OB除了可以表示30°的角之外，还可以表示390°，-330°等角. 与30°终边相同的这些角都可以表示成30°角与k个(k∈Z)周角的和. 390°=30°+360°(k=1) -330°=30°-360°(k=-1) 一般地，所有与α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合 S={β|β=α+k·360°，k∈Z} 即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 【总结】对于S={β|β=α+k·360°，k∈Z}的理解应注意以下几点： 终边相同的角 【1】α是任意角 【2】k∈Z有三层含义： ①特殊性：每取一个整数值，就对应一个具体的角 ②一般性： ... ...
