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课件网) 第5章 三角函数 人教A版2019高中数学必修第一册 5.6 函数 匀速圆周运动的数学模型 【解读教材】我们知道，单位圆上的点，以(1，0)为起点，以单位速度按逆时针方 向运动，其运动规律可用三角函数加以刻画。对于一个一般的匀速圆周运动可以 怎样用数学模型刻画呢？ 【问题】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图. 假定筒车做的是匀速圆周运动，你能用一个函数模型来刻画盛水筒距离水面 的高度和时间的关系吗？ 匀速圆周运动的数学模型 【思考】因为筒车上的盛水筒运动具有周期性，可以考虑用三角函数来刻画. 如图，把筒车抽象成数学模型，设经过t秒后，盛水筒M 从点P0运动到点P，易知它距离水面的高度H由以下量决定： 筒车转轮的中心O到水面的距离h，筒车的半径r，筒车转动的 角速度 ，盛水筒的初始位置P0，以及时间t. 水面 以O为原点，建立坐标系如图.设t=0时，盛水筒M位于 点P0，以 为始边，OP0为终边的角为 ，经过t秒后运动到点 ，于是， 以 为始边，OP为终边的角为 ，并且有： 所以，盛水筒M距离水面的高度H与时间t的关系是 函数②就是要建立的数学模型，而h是常量，所以只要研究①即可 (2)函数 含有三个参数，该进行什么样的思路来研究？ 函数 的图像 刚才我们利用三角函数的知识构建了一个形如 的函数. 显然，这个函数由参数 ， ， 所确定.因此，只要了解了这些参数的意义， 知道它们的变化对于函数图像的影响，就可以搞清楚这个函数的性质. 从解析式看，函数 就是函数 在 时的特殊情况. (1)能否借助我们熟悉的函数 的图像与性质研究参数 对 函数 的影响？ 函数 的图像 ①探究 对 图像的影响 如图，取 ，动点M在单位圆O1上以单位角速度按逆时针方向运 动.如果点M以Q0为起点，(此时 )，经过 秒后运动到点P，那么点P的纵坐 标 就等于 .以 为坐标描点，可得正弦函数 的图像. 函数 的图像 ①在单位圆上拖动起点Q0，使点Q0绕点O1旋转 到Q1，图像有什么变化？ 【图像向左平移 个长度】 ②如果使点Q0绕点O1旋转 个长度，又会得到什么图像呢？ 【分别能得到函数 , , 的图像】 函数 的图像 ①在一般地，当动点M的起点位置Q所对应的角为 时，对应的函数是 ，把正弦曲线 上的所有点向左平移 个长度，就得到函数 的图像(左加右减/作家有钱) 总结 是的， 我有钱！ 注意 【1】 的变化只改变图像的左右变化，形状、大小完全不变 【2】左右平移改变的是 ，若 前面的系数不是1，则要先提取系数在再平移 【3】这种变化引起的是初始位置的变换，一般称为相位变换. 向左平移 个单位 向右平移 个单位 也可以是任 意一个函数 探索 对 图像的影响 我们通过数学实验来探索.如图，取圆的半径A=1，为了研究方便，我们令 ，当 时得到 的图像. 导学 取 时，得到函数 的图像. 取 时，得到函数 的图像. 探索 对 图像的影响 一般地，函数 的周期是 ，把 图像上所有点的横坐标缩短(当 时)或伸长(当 时)到原来的 倍(纵坐标不变)，就得到 的图像. 结论 注意 ① 的作用：引起周期 的改变，这种变换叫做横向伸缩 ② 的变化引起的横向伸缩，会导致图像形状改变(被横向拉长或缩短) ③ 时，函数 的图像相比函数 横向缩短，周期变小； ④ 时，函数 的图像相比函数 横向伸长，周期变大； 探索 对 图像的影响 老规矩，还是通过数学实验来探索.如图，令 ， ，当A=1时， 可得 的图像. 导学 的图像 的图像 横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍 一般地，函数 的图像,可以看做是把 图像上所有点的纵坐标伸长(当 时)或缩短(当 时)到原来的A倍而 得到(横坐标不变)，所以函数 的值域是[-A,A] 结论 探索 对 图像的影响 注意 ①若A＞0，则函数 的值域为[-A，A] ②若A＜0，则函数 的值域为[A，-A] ③A的作 ... ...
