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课件网) 第5章 三角函数 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 人教A版2019高中数学必修第一册 α终边 β终边 α-β终边 两角差的余弦公式 【探究】如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α+β，α-β的正余弦吗？ 【分析】如图，设单位圆与 轴的正半轴相交于点 ， 以 轴非负半轴为始边作角α、β，α-β，它们的 终边分别与单位圆相交于点 连接 ， .若把扇形 绕着点 旋转β角，则 点A、P分别与点 重合.根据圆的旋转对称性可知， 与 重合，从而 = ，所以 = α终边 β终边 α-β终边 根据两点间距离公式，得到等式： 化简得 两角差的余弦公式 【探究】由此我们得到了 当 时，容易证明上式依然成立. 所以，对于任意角α，β，都有 α终边 β终边 α-β终边 此公式给出了任意角α、β的正弦、余弦和其差角α-β的余弦之间的关系，称为 差角的余弦公式，记为 由公式 可知，只要知道了 的值，就可以求出 的值. 另外，式中的角α，β都是任意角，可以是一个角，也可以是角的组合，如： 【例1】利用公式 证明 【证明】 【例2】已知 β是第三象限角，求 的值. 【解】由 ，得 又由 ，β是第三象限角，得 所以 两角和的余弦公式 【推导】我们以 为基础，推导出其他公式. 这样就可以得到两角和的余弦公式，即 也就是说，和角余弦等于同名积之差，差角余弦等于同名积之和. 与两角差的余弦公式相比较下 余余正正 符号相反 两角和与差的正弦公式 【1】由诱导公式五： ，可得： 两角和与差的正弦公式 【2】由诱导公式六： ，可得： 即 正余余正 符号相同 两角和与差的正切公式 根据推导经验，有 在上式中，用-β替换β，得到 即 分子同相加， 1减他们俩 分子同相减， 1加他们俩 式中的α、β、α+β可以是任意值吗？ 六个公式之间的关系和推导 【和角公式】 【差角公式】 以-β替换β 以-β 替换β 作 商 作 商 以-β替换β 当α=β时，有： 【例3】已知 α是第四象限角，求 的值. 【解】由 α是第四象限角，得 则 【例4】利用和(差)角公式计算下列各式的值. 【解】(1)由公式S(α+β)，得 (2)由公式C(α+β)，得 (3)由tan45°=1及公式T(α+β)，得 二倍角的正弦、余弦、正切公式 【推导】利用S(α±β)，C(α±β)，T(α±β)，可以推导出sin2α，cos2α，tan2α的公式 当α=β时， 当α=β时， 当α=β时， 这样我们就得到了二倍角公式： 在 中，结合公式 ，得到 【例5】已知 ，求 的值. 【解】由 ，得 【例6】已知 ，求 的值. 【解】由 ，即 化简得 所以 THANKS “ ”
