专题2.7 探索勾股定理(原卷版+解析版)2025-2026学年八年级上册数学同步课堂+专项培优精练(浙教版(2024))

中小学教育资源及组卷应用平台 专题2.7 探索勾股定理 1. 理解勾股定理的内容 ：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（a2+b2=c2）； 2. 探索定理的发现过程 ：通过观察几何图形或利用代数方法验证猜想，培养推理能力； 3. 应用定理解决实际问题 ：能够运用勾股定理解决古典名题（如折竹问题、引葭赴岸等）及现代测量问题；在解决实际问题中的建模能力、逻辑思维和推理能力。 4. 掌握逆定理的应用 ：理解勾股定理逆定理的条件，并能判断三角形是否为直角三角形。 模块1：知识梳理 2 模块2：核心考点 2 TOC \o "1-4" \h \z \u 考点01.勾股定理的相关运算 2 考点02.勾股定理逆定理的相关运算 4 考点03.图形面积与勾股树相关问题 7 考点04,以弦图为背景的相关计算问题 9 考点05.勾股定理中的分类讨论和方程思想 12 考点06.勾股定理的证明方法 15 考点07.勾股定理逆定理的实际应用1（古典名题） 20 考点08.勾股定理逆定理的实际应用2（现代测量等） 22 考点09.直角三角形的判定与勾股数的探究 25 考点10.勾股定理逆定理的综合证明 27 考点11.勾股定理与折叠问题 30 考点12.勾股定理与最短路径问题 33 考点13.在网格中判断直角三角形（或构造直角三角形） 36 考点14.用勾股定理构造图形解决问题（几何法解代数问题） 38 考点15.利用勾股定理证明线段的关系（含平方、根号） 43 模块3：培优训练 48 1、勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形的直角边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为弦，因此这一性质也称为勾股定理。 如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么a2+b2=c2。 注意：1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系；2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的。 2、勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是 法。 图1：赵爽弦图证法； 图2：毕达哥拉斯证法； 图3：总统证法； 图4：其他面积证法； 图1 图2 图3 图4 2.用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形经过 拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积 ； ②根据同一种图形的面积 不同的表示方法，列出等式，推导出 。 3、勾股定理的逆定理：如果三角形中两边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形。即：如果三角形的三条边长，满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 注意：1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形；2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形。 考点01.勾股定理的相关运算 例1.（24-25八年级上·江苏·期末）如图，在四边形中，对角线，与相交于点O，若，则 ． 变式1.（24-25八年级上·成都·期末）如图，在中，，，D是线段上的动点（不含端点B，C），则满足线段的长为正整数的点D的个数为（ ） A．4 B．5 C．3 D．2 变式2.（24-25八年级下·山东·阶段练习）如图，是的斜边上的一点，且，过点D作的垂线，交于点E．若，，则的长为 ． 变式3.（25-26九年级上·陕西榆林·开学考试）如图，在中，，，分别以、为边作正三角形、，过点作交延长线于点，连接，若，则的长是 ． 考点02.勾股定理逆定理的相关运算 例1.（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，，；记的面积为，的面积为，则的值为 ． 变式1.（24-25八年级下·湖南长沙·开学考试）如图，中，，，，是三角形的高线，直线交于点，交于点，若；(1)求证：平分；(2)求点D到直线的距离． 变式2.（24-25八年级下·湖北·期中）如图所示，已知一块三角形的花园， ... ...