第二十四章 圆--利用垂径定理求线段长和平行弦问题 重点题型梳理 专题练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

中小学教育资源及组卷应用平台 第二十四章 圆--利用垂径定理求线段长和平行弦问题 重点题型梳理 专题练 2025-2026学年 上学期初中数学人教版九年级上册 梳理练 一、利用垂径定理求线段长问题 1．如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的长为 ． 2．如图，将的一部分沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心，，则的半径为 3．如图，是圆的弦，直径，垂足为，若，，则的长为 ． 4．如图，将直角三角板角的顶点放在上，斜边与交于点，若恰好是的中点，，则点到的距离是 ． 二、利用垂径定理求平行弦问题 5.一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是 ． 6.已知：的半径为，，是的两条弦，，，，求和之间的距离． 7.已知：如图，是的直径，、、是的弦，． (1)求证：； (2)如果弦长为8，它与劣弧组成的弓形高为2，求的长． 综合练 1．如图，为的直径，是弦，且于点E，连接，若，， (1)求圆的半径； (2)求弦的长． 2．如图所示，在中，半径弦，垂足为，，． (1)求半径的长． (2)作图：延长交于点并连接，求的长． 3．如图，有一拱形公路桥，圆弧形桥拱下面的水面跨度，拱高（弧的中点到弦的距离）为 (1)求桥拱所在圆的半径． (2)该地区连降暴雨，河水猛涨， 桥下水面提高了，求此时水面的宽度． 4．如图，，交于点，，是半径，且于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 5．已知：如图，在中，A、B、C、D是圆上四点，且，于点E，于点F．求证：． 6．如图，在中，，连接． (1)求证：； (2)过点作交的延长线于点，若，求的长． 7．如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，． (1)求证：直线； (2)求证：． 8．如图,在上,经过圆心的线段于点，与交于点. (1)如图1,当半径为,若,求弦的长; (2)如图2,当半径为 ,,若,求弦的长. 9．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，OF⊥AC于点F，BE＝OF． （1）求证：△AFO≌△CEB； （2）若BE＝4，CD＝8，求： ①⊙O的半径； ②求图中阴影部分的面积． 答案 一、利用垂径定理求线段长问题 1． 解：连接，如图： ∵为直径，且，， ∴， 在中，，根据勾股定理得： ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 解：过O作于D，交于C，连接，设， 由折叠可知：， 中，，， 根据勾股定理，得：， ∴， 解得：（负值已经舍去） 故答案 ：． 解：如图，连接， ∵，， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴． 故答案为：． 解：连接，如图， ∵点是斜边的中点，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 过点作于点， ∴点在上， 过点作于点，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴点到的距离是， 故答案为：． 二、利用垂径定理求平行弦问题 5. 解：如图，记圆心为，连接，作于，作于， ∴，， 由矩形的性质可知，， ∴三点共线， 设，则， 由勾股定理得，，即； ，即； ∵， ∴， 解得，， ∴或（舍去）， ∴纸杯的直径是， 故答案为：． 6. 解：①当弦和在圆心同侧时，如图1所示， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图2所示， ，， ，， ， ，， ； 综上所述：和之间的距离为或． 7 （1）解：作于点E，交于点F，连接如图， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴； （2）解：设的半径为，则， 又， ∴， 在中，， 即：， 解得，， ∴. 综合练 1．(1)5 (2)8 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理． （1）根据即可求解． （2）根据勾股定理及垂径定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ； （2）解：∵，， ， ， ， ． 2．(1)5 (2)图见解析， 【分析】本 ... ...