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课件网) 第一章 空间向量与立体几何 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 数学 学习目标 ①会求出空间向量的坐标． ②空间向量垂直、平行及模长的坐标表示及应用． ③运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题． 空间直角坐标系 空间直角坐标系 空间向量的坐标表示 空间向量基本定理 不共面，则对，唯一有序实数组，使得 c 点的坐标 向量的坐标 复习导入 名 称 坐 标 表 示 加法 减法 数乘 数量积 模长 夹角 平行 垂直 平面向量运算的坐标表示 设， 类比平面向量坐标运算，你能得出空间向量坐标运算并给出证明吗？ 复习导入 设 与平面向量运算的坐标表示一样，我们有： 如何证明？ 探究一 空间向量运算的坐标表示 新知探究 下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示. 设则 所以 利用向量数量积的分配律以及 得， 其他运算类似可证，请同学们自主完成。 探究一 空间向量运算的坐标表示 名 称 坐 标 表 示 加法 减法 数乘 数量积 模长 夹角 平行 当时 垂直 设 探究一 空间向量运算的坐标表示 O 如图建立空间直角坐标系， 设，是空间中任意两点， 则. 于是. 空间两点间的距离公式 思考1：你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？ 练习巩固 已知，求： (1) ＋，－，·， (2)(2)·(－)，(＋)·(－)． 解 (1); ; . (2) (2)(－) ； (＋)(－). 【例题1】 1.已知，求： (1) (2) (3) (4) 【答案】: ;;; 2.已知，，且⊥，求的值. 解:，所以. 3.已知，，，，，且//，求的值. 解:因为//，所以，则，解得. 【跟踪训练】 练习巩固 如图，在正方体中，分别是，的中点. 求证. 证明:不妨设正方体的棱长为1， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则所以. 又，，所以. 所以. 所以，即. 【例题2】 练习巩固 如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，分别在棱，上，，. (1)求的长；(2)求与所成角的余弦值. 解 (1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则点的坐标为点的坐标为. 于是. 【例题3】 练习巩固 如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，分别在棱，上，，. (1)求的长；(2)求与所成角的余弦值. 【例题3】 解 (2)由已知，得， ，， 所以， 所以 所以 所以，与所成角的余弦值是. 练习巩固 已知空间三点，，，设＝， ＝，若向量＋与－2互相垂直，求的值． 解:， ， ∴＋， ． ∵ ＋与互相垂直， ∴，即， . 【跟踪训练】 练习巩固 已知,分别在以下情形下求实数的值. (1)； (2). 解: (1)， ，所以，解得 (2) ， 即，解得 【跟踪训练】 练习巩固 已知空间三点. 求：(1)向量，的模；(2)向量，夹角的余弦值. 解: (1)∵ ∴ (2) ∵ ∴. 【跟踪训练】 1.已知点A(1,-2,0)和向量a=(-3,4,12),且=2a,则点B的坐标为( ) A.(-7,10,24) B.(7,-10,-24) C.(-6,8,24) D.(-5,6,24) D 2.已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),则a·(-2b)= ,(a-b)·(2a-3b)= . 5 -2 3.若m=(2,-1,1),n=(λ,5,1),且m⊥(m-n),则λ= . 5 4.若a=(x,2,2),b=(2,-3,5)的夹角为钝角,则实数x的取值范围是 . (-∞,-2) 课堂小结 总结归纳 1.空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示是什么 2.空间向量中平行向量、垂直向量坐标之间的关系是什么 3.空间中两点间的距离公式和空间中两向量夹角的余弦值的计算公式. 4.利用空间向量坐标的运算如何解决简单的立体几何问题. 必做题：教材习题1.3第4,5,7,8题. ... ...
