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课件网) 8.5.1 直线与直线平行 课标定位 素养阐释 1.借助长方体,通过直观感知,了解直线与直线的平行关系. 2.理解基本事实4,能运用基本事实4证明空间中的线线平行. 3.通过直观感知,了解空间中两个角的两条边分别对应平行的有关定理,并学会运用. 自主预习·新知导学 合作探究·释疑解惑 随 堂 练 习 自主预习·新知导学 一、基本事实4 1.我们知道,在同一平面内,若两条直线都与第三条直线平行,则这两条直线互相平行.在空间中,是否也有类似结论 提示:是. 2.基本事实4 3.已知a,b是两条异面直线,c∥a,那么c与b的位置关系( ) A.一定是异面 B.一定是相交 C.不可能平行 D.不可能相交 解析:若c∥b,而c∥a,则由基本事实4知a∥b,这与a,b是两条异面直线矛盾, 所以c与b不可能平行, 故选C. 答案:C 二、空间中两个角的两条边分别对应平行的定理 1.观察下图中的∠AOB与∠A'O'B'. 这两个角对应的两条边之间有什么样的位置关系 测量一下,这两个角的大小关系如何 提示:分别对应平行,相等. 2. 3.若角α和角β的两边分别对应平行,则当α=72°时, β= . 答案:72°或108° 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”. (1)空间四条直线a,b,c,d,如果a∥b,c∥d,且a∥d,那么b∥c. ( √ ) (2)基本事实4表明了平行的传递性,它可以作为判断两直线平行的依据.( √ ) (3)如果两个角相等或互补,那么这两个角的两边分别对应平行.( × ) 合作探究·释疑解惑 探究一 探究二 探究三 探究一 基本事实4的应用 【例1】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别为棱AA1,CC1的中点.求证:BF∥ED1. 证明:如图,取BB1的中点G,连接GC1,GE.因为F为CC1的中点,所以BG∥C1F,且BG=C1F, 即四边形BGC1F为平行四边形.所以BF∥GC1. 又EG∥A1B1,A1B1∥C1D1,且EG=A1B1,A1B1=C1D1, 所以EG∥C1D1,且EG=C1D1, 即四边形EGC1D1为平行四边形. 所以ED1∥GC1.所以BF∥ED1. 将本例条件“E,F分别为棱AA1,CC1的中点”改为“M,N分别是棱CD,AD的中点”,其他条件不变,证明:四边形MNA1C1是梯形. 证明:如图,连接AC. 在△ACD中,∵M,N分别是CD,AD的中点, ∴MN是△ACD的中位线, ∴MN∥AC,且MN= AC. 由正方体的性质,得AC∥A1C1,且AC=A1C1. ∴MN∥A1C1,且MN= A1C1,即MN≠A1C1, ∴四边形MNA1C1是梯形. 证明两条直线平行的方法: (1)平行线定义; (2)三角形中位线定理、平行四边形性质等; (3)基本事实4. 探究二 等角定理的应用 【例2】 已知E,E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD, A1D1的中点,求证:∠BEC=∠B1E1C1. 证明:如图,连接EE1. 因为E,E1分别是AD,A1D1的中点, 所以AE∥A1E1,且AE=A1E1, 即四边形AEE1A1是平行四边形. 所以AA1∥EE1,且AA1=EE1. 又AA1∥BB1,且AA1=BB1, 所以EE1∥BB1,且EE1=BB1, 即四边形BEE1B1是平行四边形. 所以BE∥B1E1.同理可证CE∥C1E1. 又∠BEC与∠B1E1C1的两对应边方向都相同, 所以∠BEC=∠B1E1C1. 在立体几何中,常利用等角定理来证明两个角相等,此时要证明它们的两边分别对应平行,且注意观察这两个角的两对应边方向都相同或都相反. 探究三 空间中直线与直线平行的应用 【例3】 如图,在空间四边形ABCD中,E,H分别为BC,AB的中点,F在CD上,G在AD上,且有DF∶FC=DG∶GA=2∶3,求证:四边形EFGH是梯形. 证明:如图,连接AC,因为E,H分别为BC,AB的中点,F在CD上,G在AD上,且有DF∶FC=DG∶GA=2∶3, 所以HE∥AC,GF∥AC, 所以HE∥GF,则E,F,G,H四点共面. 又 所以HE≠GF,所以四边形EFGH是梯形. 根据三角形中位线定理、基本事实4证明两条直线平行是常用的方法.基本事实4表明了平行线的传递性,它可以作为判断两条直线平行的依据,同时也给出了空间两直线平行的一种证明方法. 【变式训练2】 ... ...
