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课件网) 8.6.1 直线与直线垂直 课标定位 素养阐释 1.借助正方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线的垂直关系. 2.掌握异面直线所成的角(或夹角)的求法. 3.在探索异面直线所成的角(或夹角)的过程中,感受转化思想,提升逻辑思维、直观想象、数学运算等素养. 自主预习·新知导学 合作探究·释疑解惑 易 错 辨 析 随 堂 练 习 自主预习·新知导学 一、刻画两条异面直线的位置关系 1.如图,两条去往不同方向的高速公路可抽象为直线a,直线b,它们是否在同一平面内 a,b的位置关系可能是垂直吗 提示:不共面,既不相交也不平行,是异面直线.两条直线的位置关系可能是垂直. 2.(1)平面内两条直线相交形成 4 个角,其中不大于 90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角),它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度. (2)我们也可以用“异面直线所成的角”来刻画两条异面直线的位置关系. 3.若直线a,b,c满足a∥b,b⊥c,则a与c的位置关系是( ) A.异面 B.平行 C.垂直 D.相交 答案:C 二、异面直线所成的角(或夹角) 1.类比相交直线所成的角, 异面直线是否可以转化为相交直线来刻画两条异面直线的位置关系 提示:可以,通过平移把异面直线转化为相交直线,这样就可以刻画两条异面直线的位置关系. 2.(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)空间两条直线所成角α的取值范围:0°≤α≤90°. (3)当α=90°时,直线a与直线b垂直,记作a⊥b . 3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AA1,AB, BB1,B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于( ) A.45° B.60° C.90° D.120° 解析:取A1B1的中点Q,连接GQ,HQ(图略), 则EF∥GQ,从而∠HGQ或其补角即为异 面直线EF与GH所成的角,易求得∠HGQ=60°. 答案:B 三、直线与直线的垂直关系 1.两直线互相垂直,一定要有交点吗 异面直线可以说互相垂直吗 提示:不一定,可以. 2.如果两条异面直线所成的角是直角,那么我们就说这 两条异面直线互相垂直. 3.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b垂直”是“平面α和平面β相交”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:D 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”. (1)若两条直线垂直,则这两直线一定相交.( × ) (2)异面直线所成的角不可能等于0°.( √ ) (3)若两条直线都与第三条直线异面,则这两条直线异面.( × ) 合作探究·释疑解惑 探究一 探究二 探究三 探究一 求异面直线所成的角 【例1】 如图,在四面体A-BCD中,AB=CD,AB⊥CD,E,F分别为BC,AD的中点,求EF和AB所成的角. 解:如图,取BD的中点G,连接EG,FG. ∵E,F分别为BC,AD的中点, ∴∠GFE或其补角即为EF与AB所成的角. ∵AB⊥CD,∴GF⊥EG,即∠EGF=90°. ∵AB=CD,∴GF=EG,即△EFG为等腰直角三角形. ∴∠GFE=45°,即EF与AB所成的角为45°. 若本例中条件“AB=CD,AB⊥CD”改为“AB=CD=2,EF= ”,此时CD和AB所成的角又如何求 解:∵E,F,G分别是所在棱的中点, ∴GE∥CD,GF∥AB. ∴∠EGF或其补角即为AB与CD所成的角. 由已知可得GE=GF=1,又EF= , ∴由余弦定理,得∠EGF=120°. ∴异面直线AB与CD所成的角为60°. 求两异面直线所成的角的步骤 (1)作:根据所成角的定义,用平移法作出异面直线所成的角; (2)证:证明作出的角就是要求的角; (3)计算:求角的值,常利用解三角形得出. 可用“一作二证三算”来概括. 【变式训练1】 如图所示,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,AB的中点为M,DD'的中点为N,则异面直线B'M和CN所成角的大小是( ) A.90° B.60° C.45° D.30° 解析:如图,取AA'的中 ... ...
