湖南长沙市雅礼中学 2025-2026 学年高三下学期开学考试数学试题 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.回答非选择题时, 将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的. 1. 在复平面内,复数 对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C 第三象限 D. 第四象限 2. 已知符号函数 ,则 “ ” 是 “ ” 的( ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量 与 的夹角为 ,则 ( ) A. B. C. D. 4. 下列结论中, 错误的是 ( ) A. 数据4,1,6,2,9,5,8的第 60 百分位数为 6 B. 若随机变量 ,则 C. 已知经验回归方程为 ,且 ,则 D. 根据分类变量 与 成对样本数据,计算得到 ,依据小概率值 的 独立性检验 ,可判断 与 有关联,此推断犯错误的概率不大于 0.001 5. 白舍窑位于江西省南丰县白舍镇，是宋元时期 “江西五大名窑”，其瓷器以白瓷最为闻名，素有 “白如玉，薄如纸”的特点. 如图是白舍窑生产的一款斗笠型茶杯，茶杯外形上部为一个圆台，下部实心且外形为圆柱. 现测得底部直径为 ，上部直径为 ，茶杯侧面与水平面的夹角为 ，则该茶杯容量(茶杯杯壁厚度忽略不计) 约为( )(单位: ) A. B. C. D. 6. 已知 ，则 ( ) A. B. C. D. 7. 已知函数 ,若不等式 在 上恒成立,则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 8. 设 为正整数,在平面直角坐标系 中,若 恰好能表示出 12 个不同的椭圆方程,则 的一个可能取值为( ) A. 12 B. 8 C. 7 D. 5 二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 已知函数 的部分图象如图所示,若将函数 的图象纵坐标不变,横坐标缩短到原来的 ,再向右平移 个单位长度,得到函数 的图象,则下列命题正确的是 ( ) A. 函数 的解析式为 B. 函数 的解析式为 C. 函数 在区间 上单调递增 D. 函数 图象的一条对称轴是直线 10. 已知抛物线 的焦点为 ，直线 与 交于点 ， ( 在第一象限)，以 为直径的圆 与 的准线相切于点 . 若 ,则下列说法正确的是 ( ) A. 三点共线 B. 的斜率为 C. D. 圆 的半径是 4 11. 如图，在棱长为 2 的正方体 中， ， ， 分别是 ， ， 的中点， 是线段 上的动点,则( ) A. 存在点 ,使 四点共面 B. 存在点 ,使 平面 C. 过 三点的平面截正方体 所得截面面积的取值范围为 D. 经过 四点的球的表面积为 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 若曲线 的一条切线为 ,其中 为正实数,则 的取值范围是_____. 13. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,点 ,点 是第一象限内双曲线 上的一点,满足 . 记 的面积分别为 ,则 _____. 14. 锐角 中,角 所对应的边分别为 ,满足 ,则 的周长的取值范围为_____. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 15. 已知数列 的各项均为正数,前 项和为 ,且 是 与 的等差中项. (1)证明:数列 是等差数列； (2)设 ，求数列 的前 项和 . 16. 在直角梯形 中， ， ， ，如图(1). 把 沿 翻折，使得平面 平面 . 图(1) 图(2) (1)求证: ； (2)在线段 上是否存在点 ，使得 与平面 所成角为 ？若存在，求出 的值；若不存在, 说明理由. 17. 有甲、乙两个不透明的罐子, 甲罐有 3 个红球, 2 个黑球, 球除颜色外大小完全相同. 某人做摸球答题游戏. 规则如下:每次答题 ... ...
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