数学试题 2026 年 2 月 26 日 本试卷共三道大题, 21 道小题, 共 4 页, 150 分。考试时长 120 分钟。有生务必将答案 答在答题纸上，在试卷上作答无效. 一、选择题共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。 1. 已知集合 ，则 ( ) A. B. . C. D. 2. 若复数 满足 ,则 A. 1 B. C. 2 D. 3. 在 中， 分别是角 的对边， ，则( ) A. 为锐角三角形 B. 为直角三角形 C. 为钝角三角形 D. 以上三个选项都有可能 4. 在神经网络中, Sigmoid 函数常用于构建损失函数,其定义为: ,则对任意的实数 ，均有( ) A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系 中，将向量 绕点 逆时针旋转 得到 ，若 ， 则点 的横坐标为( ) A. B. C. D. 6. 已知实数 满足 ，则下列选项错误的是( ) A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 若 ，则 D. 若 ，则 7. 设无穷等比数列 的前 项和为 ，则下列结论一定成立的是( ) A. 若 逆减，则 递增 B. 若 递减，则 递减 C. 若 递减，则 递减 D. 若 递减，则 递增 8. 已知函数 的定义域为 ，函数图像为连续曲线， ，则 “ 的解集为 是“ ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 若 ，且 ，则 的最小值为 ( ) A.1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 正方体绕对角线旋转一圈形成如下空间几何体，其中曲线 部分是双曲线的局部。 此双曲线的离心率是( ) A. B. C. D. 二、填空照共5 小距，每小距 5 分，共 25 分。 11. 函数 的定义域为_____. 12. 二项式 的展开式中常数项是_____. 13. 若点 是圆 上的任一点，直线 与 轴， 轴分别相交于 两点，则 最小值为_____. 14. 抛物线 的准线方程为_____；若直线 与抛物线 交于 两点， 为准线上一点，则 的取值范围为_____. 15. 设 ,函数 ①若 有最大值，则 ； ②直线 与曲线 可以有两个公共点: ③若曲线 上存在两对关于原点对称的点，则 ； ④ 设 ，则直线 斜率的取值范围是 . 其中所有正确结论的序号是_____. 三、解答题共 6 小题, 共 85 分。解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。 16.(本小题 13 分) 设函数 ，且 . (1) 求 的值; (II) 若 在区间 上有且只有一个零点,再从条件①,条件②,条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数 存在，求 的最大值. 条件①: 恒成立; 条件②: 恒成立; 条件③: 为 对称中心. 17. (本小题 14 分) 某工厂有两条生产线生产同一种产品，产品需要经过质量检测. 检测结果分为优质、合格和不合格三种. 从两条生产线上各随机抽取 120 件产品, 检测结果如下表. 优质 合格 不合格 甲生产线 80 件 40 件 0 件 乙生产线 60 件 30 件 30 件 假设各件产品的检测结果相互独立, 用频率估计概率. (1)从甲生产线抽取的样本中随机取 2 件，求这 2 件产品均合格的概率； (II)从甲、乙两条生产线的产品中各随机抽取 1 件，记这 2 件产品的利润总和为 元(利润标准: 优质 20 元,合格 5 元,不合格-15 元). 求 的分布列及数学期望: (III)工厂考虑对乙生产线进行技术改造,改造后,乙生产线生产的产品优质率可提高到 0.7 , 不合格率降为 0.05 . 但改造需要一次性投入，会导致每件产品的生产成本增加 4 元. 试判断改造后乙生产线产品的平均利润是否比改造前有所提高. (直接写出结论) 18.(本小题 13 分) 如图所示，在多面体 中， 为平面六边形，平面 平面 ，平面 平面 ， ， ， 与 都是边长为 2 的等边. 三角形, , 分别为 的中点. (1)求证: ， 平面 ； (II)棱 ED 上是否存在点 ，使得 成角 若存在，求 的值:若不存在，说明理由. 19. (本小题 15 分) 已知函数 . (I) 若 ，求函数 的极值； (II) 若 时， ，求 的取值范围； (III) 若函数有两个极大值点 ,求 的范围. 20. (本小题 15 分) 已知椭圆 的离心率为 ，焦距为 ... ...
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