2025-2026学年人教A版数学必修第二册课时达标：7.3.1复数的三角表示式&7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 (含解析)

7.3.1　复数的三角表示式 7.3.2　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 一．选择题 1.若复数z=(a+i)2的辐角的主值是,则实数a的值是(　　) A.1 B.-1 C.- D.- 2.复数-i的三角形式是(　　) A.cos 60°+isin 60° B.-cos 60°+isin 60° C.cos 120°+isin 60° D.cos 120°+isin 120° 3.复数z=sin 50°-icos 50°的辐角的主值是(　　) A.50° B.220° C.310° D.320° 4.将复数4[cos+isin]化成代数形式,正确的是(　　) A.4 B.-4 C.4i D.-4i 5.已知复数z=i,则arg是(　　) A. B. C. D. 6.设arg(3+4i)=θ,则arg(8-6i)为(　　) A.2π-θ B.+θ C.-θ D.+θ 7.4(cos π+isin π)÷2=(　　) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 8.复数(cos 10°+isin 10°)6的三角形式为(　　) A.sin 30°+icos 30° B.cos 60°+isin 60° C.cos 30°+isin 30° D.sin 60°+icos 60° 9.设3+4i的辐角的主值为θ,则(3+4i)·i的辐角的主值是(　　) A.+θ B.-θ C.θ- D.-θ 10.在复平面内,把与复数a+bi(a,b∈R)对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转90°后所得向量对应的复数为(　　) A.a-bi B.-a+bi C.b-ai D.-b+ai 11.设z1=1-2i,z2=1+i,z3=-1+3i,则arg z1+arg z2+arg z3=(　　) A. B. C. D. 二．填空题 12.设z=1+i,则复数的三角形式是　　　　　. 13.=　　　　　(用代数形式表示). 14.已知复平面内向量对应的复数为2+i,点A对应的复数为-1,现将绕点A按顺时针方向旋转90°后得到的向量为,则点C对应的复数为　　　　　. 三．解答题 15.把下列复数表示为代数形式. (1)3; (2); (3)2. 16.求复数z=1+cos θ+isin θ(π<θ<2π)的模与辐角的主值. 17.写出下列复数z的倒数的模与辐角: (1)z=10; (2)z=2. 18.设复数z1=+i,复数z2满足|z2|=2,已知z1的对应点在虚轴的负半轴上,且arg z2∈(0,π),求z2的代数形式. 7.3.1　复数的三角表示式 7.3.2　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 一．选择题 1.B ∵z=(a+i)2=(a2-1)+2ai,arg z=, ∴∴a=-1. 2.D r=1,cos θ=-.因为与-i对应的点在第二象限,所以可取θ=120°. 所以-i=cos 120°+isin 120°. 3.D 因为z=sin 50°-icos 50°=cos(90°-50°)-isin(90°-50°)=cos 40°-isin 40°=cos(360°-40°)+isin(360°-40°)=cos 320°+isin 320°,所以复数z的辐角的主值为320°.故选D. 4.D 4[cos+isin]=4[0+i(-1)]=-4i.故选D. 5.B ∵z=i, ∴. ∴arg.故选B. 6.D ∵arg(3+4i)=θ,∴cos θ=,sin θ=,0<θ<. 设arg(8-6i)=α, 则cos α=,sin α=-<α<2π. ∴α=+θ. 7.C 4(cos π+isin π)÷2=2[cos+isin] =2=-1+i.故选C. 8.B (cos 10°+isin 10°)6=cos 60°+isin 60°. 9.A 根据复数乘法的几何意义,可知(3+4i)·i对应的向量是由复数3+4i对应的向量绕点O按逆时针方向旋转得到的,因此(3+4i)·i的辐角的主值为θ+,故选A. 10.C 所求复数为=-(a+bi)i=b-ai,故选C. 11.C ∵z1·z2·z3=(1-2i)(1+i)(-1+3i)=(3-i)(-1+3i)=10i, ∴arg z1+arg z2+arg z3=+2kπ,k∈Z. ∵arg z1∈,arg z2∈,arg z3∈, ∴arg z1+arg z2+arg z3∈, ∴arg z1+arg z2+arg z3=. 二．填空题 12. ∵z=1+i, ∴=1-i, ∴r=,cos θ=. 又与1-i对应的点在第四象限, ∴arg(1-i)=. ∴1-i=. 13. -3-3i 原式=3[cos+isin]=3 =3=-3-3i. 14. -2i 向量对应的复数为=-(2+i)i=1-2i, 设O为坐标原点, ∵, ∴对应的复数为-1+(1-2i)=-2i. 即点C对应的复数为-2i. 三．解答题 15. 解:(1)3i. (2)=-i. (3)2=-i. 16. 解:z=1+cos θ+isin θ=2cos2+2i·sincos=2cos, ∵π<θ<2π, ∴<π, ∴cos<0. ∴z=-2cos=-2cos·[cos+isin]. ∴|z|=-2cos. 又<π, ∴<π+<2π, ∴arg z=π+. 17. 解:(1) = =. 故的模为,辐角为-+2kπ(k∈Z). (2)复数2i,模r=2,对应的点在第四象限, 且cos θ=,取θ=-, 所以2=2[cos+isin]. 故 =. ... ...