-出卷网-chujuan.cn 注意事项: 2026 年普通高等学校招生全国统一考试 (第一次模拟考试) 数 学 1. 考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上。将条形码粘贴在规定区域。 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2. 做选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3. 回答非选择题时,将答案写在答题卡的规定区域内,写在本试卷上无效。 4. 考试结束后,将答题卡交回。 一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1. 若 为虚数单位,则 A. 2 B. 0 C. D. 2. 设全集 ,集合 ,则 A. B. C. D. 3. 若 为非零向量，则 “ ” 是 “ ” 的 A. 必要不充分条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 充要条件 4. 记 为正项等比数列 的前 项和,已知 ,则该数列的公比为 A. 4 B. -1 C. 2 D. 1 5. 边长为 2 的等边三角形 的外心为 0,则 A. -2 B. 2 C. D. 6. 已知直线 与圆 相交于 两点，则劣弧 的长为 A. B. C. D. 7. 已知函数 ,若关于 的方程 有四个实根 ,则下列结论正确的是 A. B. C. D. 的最小值为 16 8. 袋中有 9 个除了颜色外完全相同的小球, 其中有 3 个白球, 2 个红球, 4 个黄球, 从中不放回地取球,每次取一个球,当三种颜色的球都取到时停止,记停止时取出的球的个数为 ,则 A. B. C. D. 二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的四个选项中,有多项符合题 目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 已知函数 ,则 A. B. 的最小正周期为 C. 图象的对称中心为 D. 不等式 的解集为 10. 设等差数列 的前 项和为 ,公差为 ,首项为 ,若 且 ,则下列结论正确的是 A. B. 当 时, 取最大值 C. D. 数列 为等差数列并且与数列 具有相同的单调性 11. 在长方体 中， ，点 为 的中点，点 为平面 内的一个动点 (含边界),则 A. 平面 B. 四棱锥 的外接球的表面积为 C. 平面 平面 D. 若 ,则点 的运动轨迹长度为 三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 已知函数 的图象在 处的切线与直线 垂直, 则 _____. 13. 已知某圆锥的母线长为 4，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为_____. 14. 已知椭圆 和双曲线 有公共焦点 为左焦点), 与 在第三象限交于点 ; 直线 交 轴于点 且 平分 ,则 的离心率为_____. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (13 分) 数列 的前 项和 ,数列 满足 . (1)求数列 ， 的通项公式； (2)将数列 和数列 各取前 100 项，按从小到大排成一个新的数列 ,其中重复的数只取一次,求数列 的前 100 项和. 16. (15 分) 随着人工智能的快速发展，它在社会生活中的应用将越来越广泛. 某 AI 科技公司发明了一套人机交互软件，对用户输入的问题它会从数据库中自动检索并生成答案进行应答, 大量试验统计表明, 如果输入的问题没有语法错误, 则软件生成正确答案的概率为 85%；若出现语法错误，则软件生成正确答案的概率为 35% . 已知用户每次输入的问题没有语法错误的概率为 90%,且对于每次输入的问题软件生成正确答案相互独立. (1)求用户输入一个问题软件生成正确答案的概率； (2)在某次试验中,用户输入 个问题,记其中软件生成正确答案的个数为 ， 事件 的概率为 . 当 取何值时, 的值最大 17. (15 分) 如图，在棱长为 的正四面体 中， 为棱 的中点. (1)证明: 平面 ； (2)记 为正四面体 内切球的球心. (i) 求内切球 的半径 ; (写出推导过程,直接写结果不给分) (ii) 设 是球 的球面上一点,且 平面 ,当 最小时,求二面角 的正弦值. 18. (17 分) 已知平面直角坐标系 ... ...
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