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课件网) 第五章 5.2 等差数列 5.2.2 等差数列的前n项和 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程. 2.掌握等差数列的前n项和公式,熟练掌握等差数列的五个量a1,d,n,an,Sn的关系,能够由其中三个求另外两个. 3.了解等差数列前n项和的函数特征. 学习目标 据说,200多年前,高斯的算术老师提出了下面的问题:1+2+3+ …+100= 当其他同学忙于把100个数逐项相加时,10岁的高斯却用自己独到的方法迅速算出了正确答案,这一独到的方法是什么方法呢 这正是我们这节研究的等差数列求和问题. 引入 高斯(Gauss,1777-1855),德国数学家,近代数学的奠基者之一.他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献. 课时精练 一、等差数列前n项和公式的推导 二、等差数列前n项和的基本运算 三、等差数列前n项和的函数特征 课堂达标 内容索引 等差数列前n项和公式的推导 一 探究1 (1)你能说说高斯用了什么方法解决了他老师提出的问题 (2)你能用高斯的方法求1+2+3+…+n吗 提示 (1)(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×50=5 050. 高斯的算法实际上解决了求等差数列 1,2,3,…,n,…前100项的和的问题.① 对于数列①,设an=n,那么高斯的计算方法可以表示为 (a1+a100)+(a2+a99)+…+(a50+a51)=101×50=5 050. 可以发现,高斯在计算中利用了 a1+a100=a2+a99=…=a50+a51这一特殊关系,这就是等差数列性质的应用,它使不同数的求和问题转化成了相同数(即101)的求和,从而简化了运算. 知识梳理 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 温馨提示 等差数列前n项和的基本运算 二 例1 (2)已知a5+a10=58,a4+a9=50,求S10; 设等差数列{an}的公差为d, (3)已知S7=42,Sn=510,an-3=45,求n. 思维升华 已知数列{an}是等差数列,a2=5,a3+a5=22. (1)求{an}的通项公式; 训练1 设等差数列{an}的公差为d, 则a1+d=5,2a1+6d=22,解得a1=2,d=3, 所以数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=3n-1. (2)记{an}的前n项的和为Sn,若Sn=155,求n的值. 等差数列前n项和的函数特征 三 探究4 (链接教材P25探索与研究)如果数列{an}的前n项和的公式是Sn=An2+Bn+C,其中A,B,C都是常数,那么{an}一定是等差数列吗 提示 不一定.当C=0时,数列{an}为等差数列. (链接教材P25例3)已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2n2+3n,试判断数列{an}是不是等差数列. 例3 Sn=2n2+3n, 则当n=1时,a1=S1=5, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2+3n-2(n-1)2-3(n-1)=4n+1. 又a1=5适合an=4n+1, ∴数列{an}的通项公式是an=4n+1(n∈N+). 当n≥2时,an-an-1=(4n+1)-[4(n-1)+1]=4, 故数列{an}是首项为5,公差为4的等差数列. 已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n-1,求数列{an}的通项公式,并判断它是不是等差数列. 迁移 当n=1时,a1=S1=1, 思维升华 (1)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=n2+n,则a8= A.72 B.36 C.18 D.16 训练3 由an=Sn-Sn-1(n≥2,且n∈N+), 得a8=S8-S7=82+8-72-7=16. √ (2)已知数列{an}的前n项和为Sn=-2n2+3n+1.求数列{an}的通项公式,并判断数列{an}是否为等差数列. 当n=1时,a1=S1=2; 当n≥2时,an+1-an=-4(n+1)+5-(-4n+5)=-4, 但a2-a1=-3-2=-5,所以数列{an}不是等差数列. 【课堂达标】 1.在等差数列{an}中,S10=120,那么a1+a10= A.10 B.12 C.20 D.24 √ 解得a1+a10=24. √ 3.等差数列{an}中,a1=50,d=-2,Sn=0,则n= . 即50n-n(n-1)=0,∴n=51. 51 4.已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+n,则它的通项公式an= . 当n=1时,a1=S1=-1+1=0; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(-n2+n)-[-(n-1)2+(n-1)]=-2n+2, 经检验,a1=0也满足该式.故an=-2n+2(n∈N+). -2n+2(n∈N+) 【课时精练】 √ 1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,S3=21,S11=253,Sk=136,则k= A.6 B.8 C.9 D.14 由数列{an}为等差 ... ...
