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课件网) 第五章 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题. 学习目标 一列排好的多米诺骨牌,如果推倒第一张,而且后续的每一张倒下时,能够导致下一张也倒下,则所有的骨牌都能倒下.保证每张骨牌倒下的原因有哪些 由此如何理解数学归纳法的原理,这正是这一节我们要讲的内容. 引入 课时精练 一、数学归纳法的定义 二、用数学归纳法证明等式 三、用数学归纳法证明不等式 课堂达标 内容索引 四、用数学归纳法证明几何问题 数学归纳法的定义 一 数学归纳法 一个与_____有关的命题,如果 (1)当n=n0时,命题成立; (2)在假设n=_____时命题成立的前提下,能够推出n=_____时命题也成立.那么,这个命题对_____的所有自然数都成立. 知识梳理 自然数 k+1 大于等于n0 数学归纳法两个步骤的联系 第一步是验证命题递推的基础,第二步是论证命题递推的依据,这两个步骤缺一不可,只完成第一步而缺少第二步就作出判断,可能得出不正确的结论.因为单靠第一步,无法递推下去,即n取n0以后的数时命题是否正确,我们无法判定,同样只有第二步而缺少第一步时,也可能得出不正确的结论,缺少第一步这个基础,假设就失去了成立的前提,第二步也就没有意义了. 温馨提示 例1 则上述证法 A.过程全部正确 B.n=1验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从n=k到n=k+1的推理不正确 √ 从n=k到n=k+1的推理过程中未用到②中假设,所以不正确,故选D. 数学归纳法是一种只适用于与自然数有关的命题的证明方法,它们的表述严格而且规范,两个步骤缺一不可.第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,第二步中,归纳假设起着“已知条件”的作用,在第二步的证明中一定要运用它,否则就不是数学归纳法.第二步的关键是“一凑假设,二凑结论”.在用数学归纳法证明问题的过程中,还要注意从k→k+1时命题中的项与项数的变化,防止项数估算错误. 思维升华 训练1 √ √ 用数学归纳法证明等式 二 探究2 (链接教材P54尝试与发现)以下是某人给出的关于2+4+6+…+2n=n2 +n+1.② 对所有正整数都成立的证明,这个证明有问题吗 由此你能得到什么启发 证明:假设当n=k时, ②式成立,即 2+4+6+…+2k=k2 + k+1, 则2+4+6+…+2k+2(k+1) = k2+k+1+2(k+1) = (k+1)2+(k+1)+1 所以此时n=k+1也成立, ②式对任何n∈N+都成立. 提示 显然②式是不成立的,因为当n=1时, ②式左边=2,右边=3.此时②式是不成立的,事实上尝试与发现中给出的证明,只是数学归纳法证明中的第(2)部分,这就说明数学归纳法证明是(1)与(2)缺一不可,事实上,(1)是(2)的基础,只有确定了n0时命题成立,后续的推导才会有意义. (链接教材P53例1)求证:(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)(n∈N+). 例2 (1)当n=1时,左边=1+1=2, =2k·1·3·…·(2k-1)(2k+1)·2 =2k+1·1·3·…·(2k-1)·[2(k+1)-1]=右边. ∴当n=k+1时,等式也成立. 由(1)(2)可知,对一切n∈N+,原等式均成立. 思维升华 用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题,关键在于“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式的两边各有多少项,项的多少与n的取值是否有关,由n=k到n=k+1时,等式两边会增加多少项,增加怎样的项. 训练2 (1)当n=1时,左边=12, 用数学归纳法证明不等式 三 例3 思维升华 1.当遇到与正整数n有关的不等式证明时,应用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法. 2.用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立,推证n=k+1时也成立,证明时运用归纳假设后,可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明.运用放缩法时,要注意放缩的“度”. 训练3 ①当n=1时,左边=1,右边=2,左边<右边,不等式成立. 用数学归纳法证明几何问题 四 (链接教材P54例2)已知n个平面都过同一点,但其中任何三个平面都不经过同一直线,求证:这n ... ...
