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课件网) 第五章 5.3 等比数列 5.3.1 等比数列 1.理解等比中项的概念. 2.能根据等比数列的定义推出等比数列的常用性质. 3.能运用等比数列的性质简化计算,并能利用它解决有关等比数列的问题. 学习目标 前面我们一起对等差数列、等比数列的有关知识进行了探索与研究,对比等差数列的有关性质,等比数列是否也具有类似的性质呢 引入 课时精练 一、等比中项 二、等比数列的性质 三、等比数列的实际应用 课堂达标 内容索引 等比中项 一 如果x,G,y是等比数列,那么称G为x与y的_____.即G2=_____. 知识梳理 等比中项 xy (1)若G2=ab,则a,G,b不一定成等比数列. (2)只有同号的两个实数才有等比中项. (3)若两个实数有等比中项,则一定有两个,它们互为相反数. (4)如果一个数列中,中间的每一项都是它的前一项与后一项的等比中项,那么这个数列一定是等比数列. 温馨提示 例1 √ √ 因为{an}成等比数列. 思维升华 训练1 √ (2)在等比数列{an}中,a1=1,公比为2,则a2与a8的等比中项为 . ∵数列{an}是等比数列, ±16 等比数列的性质 二 知识梳理 asat=apaq ap,as,aq (1)性质的推广:若m+n+p=x+y+z,有amanap=axayaz.该性质要求下标的和相等,且左右两侧项数相同. (2)在有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项之积都相等, 即a1·an=a2·an-1=…. 温馨提示 温馨提示 (1)已知数列{an}为等比数列.若an>0,且a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5= . 例2 ∵an>0,∴a3+a5>0, ∴a3+a5=5. 5 (2)(链接教材P34例7)在2和8之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则中间三个数的积等于 . 设a1=2,a5=8, 64 在例2(1)中,添加条件a1a7=4,求an. 迁移 由等比数列的性质得a1a7=a3a5=4, 思维升华 在等比数列的有关运算中,常常涉及次数较高的指数运算.若按常规解法,往往是建立a1,q的方程组,这样解起来很麻烦.通过本例可以看出:结合等比数列的性质进行整体变换,会起到化繁为简的效果. 在等比数列{an}中,已知a4+a7=2,a5a6=-8,求a1+a10. 训练2 因为数列{an}为等比数列,所以a5a6=a4a7=-8. 等比数列的实际应用 三 探究3 如何建立等比数列模型 提示 (1)由特例入手,归纳总结一般情形,进而建立等比数列的模型. (2)仔细审题,抓住可建立等比数列的“题眼”(如“增长率”“递减率”“利率”等),直接建立等比数列模型. (3)从一般入手,结合特例分析,寻找递推公式,利用等比数列的定义建立等比数列模型. (链接教材P36练习AT5)某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入,若该公司今年投入的资金为2 000万元,并在此基础上,以后每年的资金投入均比上一年增长12%,则该公司需经过 年其投入资金开始超过7 000万元. (参考数据:lg 1.12≈0.049,lg 2≈0.301,lg 7≈0.845) 例3 12 设该公司经过n年投入的资金为an万元,则a1=2 000×1.12, 思维升华 等比数列实际应用的求解策略 (1)一般地,产值增长率问题、银行利息问题、细胞繁殖等实际问题,往往与等比数列有关,可建立等比数列模型进行求解. (2)建立等比数列模型进行运算时,往往涉及指数、对数方程或不等式的问题,要注意运算的正确性,还要善于进行估算,对于近似计算问题,答案要符合实际问题的需要. 《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(即百分比)为“衰分比”.如:100,60,36,21.6四个数,递减的比例为40%,那么“衰分比”就等于40%.今共有粮m(m>0)石,甲、乙、丙、丁4人按顺序进行“衰分”,已知乙分得80石,甲、丙所得之和为164石,则“衰分比”为 A.20% B.25% C.75% D.80% 训练3 √ 根据题意,设衰分比为x%,甲分到a石,0
0)石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”, 已知乙分得80石,甲、丙所得之和为 ... ... 
