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课件网) 第五章 5.3 等比数列 5.3.2 等比数列的前n项和 1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题. 2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题. 学习目标 同学们,前面我们就用等差数列中的性质,类比出了等比数列的性质,由此还得出了“类比能使人智慧”这一重要结论,今天我们再进一步扩大同学们的智慧,继续通过类比,看我们能得出等比数列前n项和的哪些性质. 引入 课时精练 一、等比数列前n项和公式的灵活应用 二、等比数列中的片段和问题 三、等比数列前n项和公式的实际应用 课堂达标 内容索引 等比数列前n项和公式的灵活应用 一 知识梳理 (1)若等比数列{an}共有奇数项,其首项为1,偶数项和为170,奇数项和为341,则这个数列的公比为 ,项数为 . 例1 2 9 由性质S奇=a1+qS偶可知341=1+170q,所以q=2, (2)一个项数为偶数的等比数列{an},全部各项之和为偶数项之和的4倍,前3项之 积为64,则数列的通项公式an= . 数列{an}的首项为a1,公比为q, 思维升华 (1)若等比数列{an}共有2n项,其公比为2,其奇数项和比偶数项和少100,则数列{an}的所有项之和为 . 训练1 (2)已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q= . 300 2 等比数列中的片段和问题 二 探究2 你能否用等比数列{an}中的Sm,Sn来表示Sm+n 提示 思路一:Sm+n=a1+a2+…+am+am+1+am+2+…+am+n=Sm+a1qm+a2qm+…+anqm =Sm+qmSn. 思路二:Sm+n=a1+a2+…+an+an+1+an+2+…+an+m=Sn+a1qn+a2qn+…+amqn=Sn+qnSm. (1)若{an}是公比为q的等比数列,则Sn+m=Sn+_____ (n,m∈N+). (2)数列{an}为公比不等于-1的等比数列(或公比为-1,且n不是偶数),Sn为其前n项和,则Sn,S2n-Sn,_____ 仍构成等比数列. 知识梳理 qnSm S3n-S2n 等比数列片段和性质的成立是有条件的,即Sn≠0. 温馨提示 (链接教材P42练习BT2)已知在等比数列{an}中,S10=10,S20=30,则S30= . 例2 设等比数列{an}的公比为q, ∵S20≠2S10,∴q≠1. ∵S10≠S20,∴q≠-1. 70 (变条件)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于 A.16 B.26 C.30 D.80 迁移 √ 设等比数列的公比为q,且注意到S3n=14≠3×2=3Sn,所以q≠1. 法一 易得q≠-1,根据性质知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比数列. 由an>0得S2n>0, 设S2n=x(x>0),则2,x-2,14-x成等比数列,故(x-2)2=2(14-x),解得x=6, 由S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比数列,可得4(S4n-14)=82,解得S4n=30. 思维升华 1.运用等比数列的前n项和公式,要注意公比q=1和q≠1两种情形,在解有关的方程(组)时,通常用约分或两式相除的方法进行消元. 2.灵活运用等比数列前n项和的有关性质. (1)设等比数列{an}前n项和为Sn,若S3=8,S6=24,则a10+a11+a12= A.32 B.64 C.72 D.216 √ 训练2 由于S3、S6-S3、S9-S6、S12-S9成等比数列, S3=8,S6-S3=16,故其公比为2, 所以S9-S6=32,a10+a11+a12=S12-S9=64. (2)设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S4=4,S8=12,则a21+a22+a23+a24= . 128 由等比数列前n项和的性质, 等比数列前n项和公式的实际应用 三 (链接教材P40例5)在一次招聘会上,应聘者小李被甲、乙两家公司同时意向录取.甲公司给出的工资标准:第一年的年薪为4.2万元,以后每年的年薪比上一年增加6 000元.乙公司给出的工资标准:第一年的年薪为4.8万元,以后每年的年薪比上一年增加8%. (1)若小李在乙公司连续工作5年,则他在第5年的年薪是多少万元 例3 由题意得,小李在乙公司工作第n年的年薪为bn=4.8·(1+8%)n-1. 令n=5,得b5=4.8·(1+8%)4≈6.72(万元). 所以他在第5年的年薪是6.72万元. (2)为了吸引小李的加盟,乙公司决定在原有工资的基础上每年固定 ... ...
