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课件网) 第五章 5.3 等比数列 5.3.1 等比数列 1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念. 2.能够通过递推公式推导出等比数列的通项公式. 3.能应用通项公式进行简单运算. 学习目标 有人说过:你如果能将一张纸对折42次,我就能顺着它在今天晚上爬上月球(假设纸的厚度为0.1 mm).这个实例所包含的数学问题,用数字反应如下: 1,2,4,8,16,32,64,128,…,该组数字的后一项与前一项存在怎样的等量关系 是什么数列 这正是我们这一节要研究的问题. 引入 课时精练 一、等比数列的定义 二、等比数列的通项公式 三、等比数列中的简单运算 课堂达标 内容索引 等比数列的定义 一 探究1 (链接教材P29尝试与发现)观察下列情境中的数列,回答后面的问题. ①在营养和生存空间没有限制的情况下,某种细菌每20 min就通过分裂繁殖一代,那么一个这种细菌从第1次分裂开始,各次分裂产生的后代个数依次是 2,4,8,16,32,64,…. 知识梳理 同一个常数q 温馨提示 例1 (1)不是等比数列; 判断一个数列是否为等比数列的方法 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列是等比数列;否则,不是等比数列,且等比数列中任意一项不能为0,对于含参的数列需要分类讨论. 思维升华 训练1 √ √ 等比数列的通项公式 二 知识梳理 amqn-m 温馨提示 例2 (1)数列的首项为-1,公比为-1, 思维升华 写一个等比数列的通项公式,关键是找出该等比数列的首项和公比,这也是所有基本运算中的基本方法,需要注意的是,当公比是负数或分数时,需加括号. √ 训练2 由题意知,设等比数列{an}的公比为q, (2)已知数列{an}满足an+1=2an,且a1=1,则a8= . 128 ∵an+1=2an,且a1=1, ∴数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列, ∴a8=a1q7=27=128. 等比数列中的简单运算 三 (链接教材P36练习BT1)在等比数列{an}中. (1)a1=1,a4=8,求an; (2)an=625,n=4,q=5,求a1; 例3 (1)因为a4=a1q3,所以8=q3,所以q=2, (3)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n. 将本例(1)条件改为a2=2,a4=8,求an. 迁移 法二 由法一知q=2或q=-2. ∴an=a2qn-2=2×2n-2=2n-1, 或an=a2qn-2=2×(-2)n-2=-(-2)n-1. 思维升华 a1和q是等比数列的基本量,只要求出这两个基本量,其他量便可迎刃而解.此类问题求解的通法是根据条件,建立关于a1和q的方程(组),求出a1和q. 训练3 (2)在等比数列{an}中,已知a5-a1=15,a4-a2=6,求an. 【课堂达标】 1.(链接教材P36练习AT2)在等比数列{an}中,a1=8,a4=64,则a3等于 A.16 B.16或-16 C.32 D.32或-32 √ 由a4=a1q3,得q3=8,即q=2, 所以a3=a1q2=8×4=32. √ 由等比数列的定义,知ABD是等比数列,C中当x=0时,不是等比数列. √ √ 3.在等比数列{an}中,若a2=18,a4=8,则公比q= . 4.在各项均为正数的等比数列{an}中,a6-a1=31,a6=3a4+4a2,则a3= . 设数列{an}的公比为q, 4 【课时精练】 √ √ 2.已知等比数列{an}满足a1=-1,a4=8,则a7等于 A.32 B.-32 C.64 D.-64 根据题意,设等比数列{an}的公比为q, √ 设等比数列{an}的公比为q, √ 所以q=2. √ 5.已知数列{an}是递增的等比数列,a6-a2=40,a4+a2=10,则a1= 设数列{an}的公比为q, 6.(多选)在等比数列{an}中,a3+a4=4,a2=2,则公比q可能为 A.-2 B.-1 C.1 D.2 √ √ 7.在等比数列{an}中,若a1=2,a4=4,则a7= . 8 由a4=a1q3得q3=2, ∴a7=a4q3=4×2=8. 8.若数列{an}满足a9=1,an+1=2an(n∈N+),则a5= . 由an+1=2an可知数列{an}是公比为2的等比数列, 9.已知等比数列{an}中,a3=3,a10=384,则该数列的通项an= . 所以an=a1qn-1=a1q2·qn-3=a3·qn-3=3×2n-3. 3×2n-3 10.在等比数列{an}中,a3=32,a5=8. (1)求数列{an}的通项公式an; 因为a5=a3q2, √ 11.如图给出了一个“三角形数阵” ... ...
