数 学 一、选择题; 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1. 已知 ,则 A. B. i C. 1-i D. 1+i 2. 已知集合 ,则 A. B. C. D. 3. 已知函数 是定义在 上的奇函数,当 时, ( 为常数),则 A. 4 B. 7 C. -7 D. 8 4. A. 1 B. C. D. 2 5. 某中学要在五一假期期间组织学生参加爱国主义教育活动, 需要挑选 10 名志愿者。10 个志愿者名额要分给该校高一年级的八个班, 每个班至少一个名额, 则名额分配方法有 A. 45 种 B. 36 种 C. 28 种 D. 8 种 6. 设等差数列 的首项和公差均为 ,等比数列 的首项和公比也均为 ,其中 . 若数列 的前 6 项和与数列 的前 3 项和都等于 ,则 A. 84 B. 63 C. 42 D. 21 7. 若 ,则 A. B. C. D. 8. 函数 的最小值为 A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。 9. 已知 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,则 A. 若 ,则 B. 若 ,则 C. 若 ,则 D. 若 ,则 10. 设 的三个内角分别为 ,重心为 ,则 A. 以 的长度为边能构成三角形 B. 以 的三条中线的长度为边能构成三角形 C. 以 的长度为边能构成三角形 D. 若点 到 的三边 ， ， 的距离分别为 ， ， ，则以 ， ， 的长度为边能构成三角形 11. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,点 在双曲线 的右支上,且 ,则 A. 当 时, 的面积为 B. 当 时, 的周长为 C. 当 为钝角时, D. 内切圆的半径的取值范围是 三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。 12. 空间向量 在 上的投影向量的坐标为_____. 13. 已知直线 与曲线 和 都相切,则直线 的方程为_____. 14. 投掷一枚质地均匀的骰子,直到掷出数字 1 或 6 为止,则在掷出 1 或 6 之前,数字2,3,4,5每个都至少出现一次的概率为_____. 四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 为研究新能源汽车的销售量变化情况，现统计了某市 2025 年第二、第三季度每个月的销售量(单位:万辆)如下表所示. 月份 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 月份代号 1 2 3 4 6 销售量 1.5 2.3 2.8 3.2 3.7 4.5 (1)求这 6 个月销售量数据的平均数和 80% 分位数； (2)已知该市销售量 与月份代号 具有很强的线性相关关系，求 关于 的经验回归方程，并预测 2025 年 12 月份的销售量. 附:经验回归方程 的斜率与截距的最小二乘估计公式分别为 16. (15分) 设函数 ,将函数 的正零点按照从小到大的顺序排列,得到数列 ,且 . (1)求ω的值； (2)求函数 图象的对称中心； (3)求数列 的前 项和 . 17. (15分) 如图 1,等腰直角 的斜边 为 的中点,沿 边上的高 折叠,使得二面角 为 ，如图 2 所示，设 为 的中点. (1)证明: 平面 . (2)求平面 和平面 的夹角的余弦值. (3)在线段 (含端点)上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在， 求出线段 的长度; 若不存在,请说明理由. 图 1 图 2 18. (17分) 已知函数 ，其中 . (1)当 时,求方程 的所有实数解; (2)证明:当 时， ； (3)若 在 上恒成立，求 的值. 19.(17分) 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,点 在椭圆 上且 的周长为 6 . (1)求椭圆 的方程. (2)设过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点,过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点， 与 的交点为 ,且 与 的斜率之积为 . ① 求点 的轨迹方程； ② 求四边形 面积的取值范围. 数学参考答案和评分标准 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D C D B A C B AD ABD BC 一、选择题 1.【答案】B 由 ,得 . 2.【答案】D 由题意得 ,所以 . 3.【答案】C 由已知得 ,则 ,所以当 时, ,所以 ,故 . 4.【答案】D . 5.【答案】B 10 个名额为相同元素,可用隔板法,10 ... ...
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