高三数学模拟卷一 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题(本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1. 已知集合 ,则 A. B. C. D. 2. 已知 为实数，虚数 是方程 的根，则 的值为 A. 2 B. -2 C. 4 D. -4 3. 若函数 的定义域为 ,则 “函数 的图象关于点 中心对称” 是 “ ” 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量 均为实数，且 ，则 A. 25 B. 16 C. 5 D. 4 5. 下图是某城市在 2025 年元月至十月的最低气温(单位:℃)和最高气温(单位:℃)的折线图. 定义各月的温差为该月的最高气温减去最低气温. 若最低气温和最高气温的线性相关系数为 , 最低气温和温差的线性相关系数为 ,则下列说法正确的是 A. ，且 B. ,且 C. ，且 D. ，且 6. 如图，圆柱 的表面积为 ， 分别是圆柱上、下底面圆的直径，且四面体 为正四面体，则该正四面体的体积为 A. B. C. D. 7. 已知圆 ,若存在 ,使得直线 与圆 有公共点, 则实数 的取值范围是 1 A. B. C. D. 8. 已知函数 若方程 有四个不等的实根 , ,且 ,则下列结论正确的是 A B. C. D. 的取值范围为 二、选择题(本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 至少有两项符合题 目要求，若全部选对得 6 分，部分选对得部分分，选错或不选得 0 分) 9. 已知正三角形 的边长为 6,记其面积为 ,取各边中点连接得到新的正三角形 ,记其面积为 ,依此规律,得到一系列正三角形 ,其面积记为 ,设 . 则下列说法正确的有 A. 数列 是首项为 _，公比为 的等比数列 B. 前 3 个正三角形的面积之和为 C. 存在正整数 ,使得 D. 10. 已知函数 ,则下列说法正确的是 A. 函数 有三个零点 B. C. 曲线 上不同的两点 处的切线分别为 ,若 ,则 D. 若方程 有三个不同的实数根 ,则 11 如图，一张半径为 的圆形纸片的圆心为点 ， 是圆内的一个定点， 是圆 上任意一点， 把纸片折叠使得点 与 重合，折痕 与直线 相交于点 ， 为 的中点， ， 在折痕 上的射影分别为 , ,则 A. B. C. D. 三、填空题(本大题共 3 个小题, 每小题 5 分, 共 15 分) 12. 若 的展开式中二项式系数之和为 32，则展开式中含 项的系数为_____. 13. 若 ，且 ，则 _____. 14. 已知数列 满足 ，对任意不等于 3 的正整数 ，都有 ，则实数 的取值范围是_____ 四、解答题(本大题共 5 个小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 13 分) 已知 的内角 的对边分别为 ，且 . (1)若 ，求 的面积； (2)若 ，求 的值. 16.(本小题满分 15. 分) 已知函数 (1)设 ，分别讨论函数 与 在 上的单调性； (2)证明:当 时， . 17. (本小题满分 15 分) 如图，在三棱锥 中，侧棱 底面 ，且 ，点 为棱 的中点,四面体 的外接球 与直线 的另一交点为 . (1)证明: 平面 ； (2)若 ，三棱锥 的体积是 ，求直线 与平面 所成角的正弦值. 18.(本小题满分 17 分) 某班级开展一次卡片抽奖活动, 在一个不透明的箱子中共有 6 张卡片, 其中有 4 张普通卡片, 2 张稀有卡片, 学生随机从箱子中取出一张卡片, 如果取出普通卡片, 则把它放回箱子中; 如果取出稀有卡片,则该稀有卡片不再放回,并且另补一张普通卡片放到箱子中. 重复上述过程 次后,箱子中普通卡片的张数记作 的数学期望记为 . (1)求随机变量 的分布列； (2)设 . (1)用含 的式子表示 ； (ii) 证明: 是等比 ... ...
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