2025-2026学年北京市大兴区第一中学高一（下）期中数学试卷 一、单项选择题：本大题共10小题，。 1.=（ ） A. B. C. D. 2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c,已知a=2，b=，c=4，则cosB=（ ） A. B. C. D. 3.已知复数z满足：（1+i） z=2i，则|z|=（ ） A. 1 B. C. D. 2 4.已知向量=（3，4），=（-k,2），且∥，则实数k=（ ） A. B. -5 C. -3 D. -1 5.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，则该正三棱柱的表面积为（ ） A. B. C. 12 D. 6.已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 7.如图，在所有棱长均为4的正四棱锥P-ABCD中，以P为顶点的圆锥在此正四棱锥的内部（含表面），则该圆锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 16π 8.设，是非零向量，则“| |＜||2”是“||＜||”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不必要也不充分条件 9.在△ABC中，已知∠BAC=90°，∠B=45°，BC=4，点P在线段BC上运动，当取得最小值时，PC=（ ） A. 2 B. C. D. 1 10.已知平面向量，满足||=2，与-的夹角为120°，记=t+（1-t）（t∈R），则||的取值范围为（ ） A. [，+∞） B. [，+∞） C. [1，+∞） D. [，+∞） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，。 11.已知α是锐角，且，则α= . 12.若（1+i）n的计算结果是实数，则满足条件的一个n的值是 . 13.如图所示的几何体是从棱长为1的正方体中，截去以正方体的一个顶点为球心，半径为1的球面所围成的几何体后得到的剩余部分，则该几何体的体积为 . 14.在△ABC中，a=7，. ①若b=5，则c= ； ②若满足条件的△ABC有两个，则b的取值范围是 . 15.锐角△ABC中，B＞A、给出下列四个结论： ①sin（A+B）＜sinA+sinB； ②sinA+sinB＜cosA+cosB； ③tanAtanBtanC＞1； ④. 其中所有正确结论的序号是 . 三、解答题：本题共6小题，。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题10分) 已知复数z=a+2i（a∈R）.i为虚数单位. （1）若，求a的值； （2）若为实数，求a的值； （3）若z1=z（2-ai），z1在复平面上对应的点在第二象限，求a的取值范围. 17.(本小题12分) 已知，，. （Ⅰ）求cos（β-α）的值； （Ⅱ）求的值； （Ⅲ）求tan（α+β）的值. 18.(本小题12分) 已知向量，满足||=2，||=，且与的夹角为. （Ⅰ）求|2-|的值； （Ⅱ）若向量m-与+m互相垂直、求实数m的值. 19.(本小题12分) 如图1，正三棱柱形容器ABC-A1B1C1中盛有水，侧棱AA1=8，底面边长，若侧面AA1B1B水平放置时，水面恰好经过AC，BC，B1C1，A1C1的中点E，F，G，H. （Ⅰ）当底面ABC水平放置时（如图2所示），求水面的高度； （Ⅱ）已知某三棱锥的底面与该三棱柱底面△ABC全等，若将这些水全部倒入此三棱锥形的容器中，则水恰好装满此三棱锥，求此三棱锥的高； （Ⅲ）当底面ABC水平放置时（如图2所示），打开上底面A1B1C1的盖子，从上底面A1B1C1放入半径为1的小铁球，且沉入水中，当水从上底面A1B1C1溢出时，求放入的小铁球个数的最小值.（结论不要求证明） 20.(本小题14分) 在△ABC中，asin2B=bsinA. （Ⅰ）求B的大小； （Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三组条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积. 条件①：a=4，b=3； 条件②：c-a=1，； 条件③：c=3，. 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答给分. 21.(本小题15分) 已知集合M中至少有2个元素，且M N*，若存在整数k,使得 x,y∈N*，当x+y∈M时，xy-k∈M恒成立，则称集合M具有性质T（k）. （Ⅰ）判断集合{1，2}是否具有性质T（0），{2，3}是否具有性质T（1）；（结论不要求证明） （Ⅱ）若集合M={1，a}具有性质T（1），求a的值； （Ⅲ） ... ...
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