【精品解析】几何轨迹—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题

几何轨迹—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题 一、尺规作图 1．如图，△ABC 是等腰直角三角形，AD 是斜边 BC上的中线，过点A作射线AE∥BC. （1）尺规作图：在射线AE上找一点 F，连结CF，使得CF=BC(不写作法，保留作图痕迹). （2） 根据(1) 的作法， 若AD=1， 求AF的长. 【答案】（1）解：图1即为所作图形. （2）解：如图2，作CH⊥AF于点 H. ∵△ABC 是等腰直角三角形， AD是中线， AD=1， ∴∠ACB=45°， AD⊥BC， BC=2AD=2. ∵AE∥BC， ∴CH=AD=1. ∵∠FAC=∠ACB=45°， ∴AH=CH=1. ∴AF=FH+AH=. 【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；尺规作图-直线、射线、线段 【解析】【分析】（1）以点C为圆心，长为半径画弧交与点F，连接，则CF即为所求． （2）作于点H．根据等腰直角三角形的性质得出， ，．即可得到是等腰直角三角形，求出，再在Rt△CHF中根据勾股定理求出，最后根据线段的和差解答即可． 2．如图，AB是圆的一条弦(不是直径).仅用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，并保留作图痕迹，不写作法. （1）作圆心O和 的中点 M. （2）连结OM，交AB于点 N，若AB=4， ON=3，求⊙O的半径. 【答案】（1）解：如图，点和点即为所求， （2）解：如图，连接， 由（1）可知，点是的中点， ∴， ∴， 在中，． 【知识点】勾股定理；确定圆的条件；垂径定理的推论 【解析】【分析】（1）在圆弧上再取一点，连接，作弦AB，AC的垂直平分线交于点O，点O即为圆心，的垂直平分线与的交点即为中点； （2）连接，根据垂径定理的逆定理可得，，然后在Rt△AON中根据勾股定理求出圆的半径即可． 3．在等腰中，，点是的中点，要求用尺规作图的方法在上找一点，连结，使得．现有甲、乙、丙三位同学的做法如下： （1）①做法正确的同学有_____； ②请选择你认为正确的一种做法给出证明； （2）用尺规作图的方法画出一种不同于以上三位同学的画法． 【答案】（1）①甲、丙； ②甲的做法证明如下： 方法一：由图可知平分， ， ， ， 又点为的中点， ； 方法二：由图可知平分， ， 为边上的中线，即点为的中点， 又点为的中点， 是的中位线， ， ； 丙的做法证明如下： 方法一：连结由图可知， 点在的垂直平分线上， ， 点在的垂直平分线上， 是的垂直平分线， ， 又点为的中点， ； 方法二：连结由图可知， 点在的垂直平分线上， ， 点在的垂直平分线上， 是的垂直平分线，即点为的中点， 又点为的中点， 是的中位线， ， ． （2）解：如图，以点D为圆心为直径画圆，交于点E， 则． 其他做法酌情给分 【知识点】等腰三角形的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】 解：（1）①做法正确的同学有甲、丙； 【分析】 本题是尺规作图与几何证明的综合题，融合了等腰三角形的性质、直接三角形斜边中线定理、三角形中位线定理等多个核心知识点. （1）需结合作图痕迹，分析甲乙丙三位同学的做法是否符合的要求，再选择正确做法，利用等腰三角形性质、直角三角形斜边中线定理或中位线定理完成证明； （2）需根据几何原理，设计不同于三位同学的尺规作图方案，解题的关键是熟练掌握相关几何定理，能将作图痕迹与几何性质对应起来. （1）解：①做法正确的同学有甲、丙； ②甲的做法证明如下： 方法一：由图可知平分， ， ， ， 又点为的中点， ； 方法二：由图可知平分， ， 为边上的中线，即点为的中点， 又点为的中点， 是的中位线， ， ； 丙的做法证明如下： 方法一：连结由图可知， 点在的垂直平分线上， ， 点在的垂直平分线上， 是的垂直平分线， ， 又点为的中点， ； 方法二：连结由图可知， 点在的垂直平分线上， ， 点在的垂直平分线上， 是的垂直平分线，即点为的中点， 又 ... ...