图形的旋转———几何综合题突破·自主学习单 详解答案 【模块一：手拉手———共顶点旋转构造】 1、典例剖析 例 1．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∠ADB＝45°，BD＝4．CD= 41，求 AD 的长． 解：如图，过 D作 DE⊥BD，过 A作 AE⊥AD于 A，连接 BE， ∵∠ADB＝45°， ∴∠ADE＝45°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∵△ABC是等腰直角三角形， 同理得：△ADC≌△AEB， ∴BE＝CD= 41， Rt△BDE中，由勾股定理得：DE= 2 2 = ( 41)2 42 = 41 16 =5， ∴AD= 5 = 5 2． 2 2 第 1页（共 11页） 【模块二：最值问题】 1．在△ABC中，∠BAC＝90°， = 2， = 3 2，将△ABC绕着点 A旋转得到△ADE，连接 DB、 EC，直线 DB、EC相交于点 F，连接 AF．求线段 AF的最大值． 【解答】（1）证明：∵△ABC绕着点 A旋转得到△ADE， ∵∠DAB＝∠EAC， ∴ = ， ∴△DAB∽△EAC． 另一种方法：取 BC的中点 O，连接 OF，OA，AF，设 BD交 AE于 K． 由（1）可知△DAB∽△EAC， ∴∠ADK＝∠FEK， ∵∠EKF＝∠AKD， ∴∠EFK＝∠DAK＝90°， ∴∠CFB＝90°， 在 Rt△ABC中，∵AB= 2，AC＝3 2， ∴BC 2 + 2 =2 5， ∵OB＝OC，∠BAC＝∠BFC＝90°， ∴OA＝OF= 5， 第 2页（共 11页） ∵AF≤OF+OA， ∴AF≤2 5， ∴AF的最大值为 2 5． 【点评】本题是相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和 性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考 压轴题． 2．如图，四边形 ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线 BD（不含 B点）上任意一点，连 接 AM、CM． （1）当 M点在何处时，AM+CM的值最小； （2）当 M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由。 【解答】解：（1）当 M点落在 BD的中点时，AM+CM的值最小． （2）如图，连接 CE，当 M点位于 BD与 CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小． 理由如下： ∵M是正方形 ABCD对角线上一点， ∴AM＝CM， 又∵AB＝BC，BM＝BM， ∴△ABM≌△CBM， ∴∠BAM＝∠BCM， 又∵BE＝BA＝BC， ∴∠BEC＝∠BCM， ∴∠BEC＝∠BAM， 在 EC上取一点 N使得 EN＝AM，连接 BN， 又∵EB＝AB， ∴△BNE≌△ABM， 第 3页（共 11页） ∴∠EBN＝∠ABM，BN＝BM， 又∵∠EBN+∠NBA＝60°， ∴∠ABM+∠NBA＝60°， 即∠NBM＝60°， ∴△BMN是等边三角形． ∴BM＝MN． ∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM． 根据“两点之间线段最短”，得 EN+MN+CM＝EC最短， ∴当 M点位于 BD与 CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于 EC的长． （3）过 E点作 EF⊥BC交 CB的延长线于 F， ∴∠EBF＝90°﹣60°＝30° 3 设正方形的边长为 x，则 BF= 2 x，EF= 2 在 Rt△EFC中， ∵EF2+FC2＝EC2， 3 ∴（ ）2+（ x+x）2= ( 3 + 1)2． 2 2 解得 x= 2（舍去负值）． ∴正方形的边长为 2． 3．已知四边形 ABCD是边长为 1的正方形，点 E是边 BC上的动点，以 AE为直角边在直线 BC的上方作 等腰直角三角形 AEF，∠AEF＝90°，EF、AF与 CD分别相交于点 P、Q，连接 EQ，过点 A作 AM⊥ EQ，垂足为点 M，过点 P作 PN⊥EQ，垂足为点 N，设 BE＝m． （1）求 AM的长； （2）用含有 m的代数式表示 CQ； （3）用含有 m的代数式表示 PN，并求 PN的最大值． 第 4页（共 11页） 【分析】（1）延长 CD至 T，使 DT＝BE，可证得△TAQ≌△EAQ，进而证得△AME≌△BAE，从而得 出 AM＝AB＝1； （2）设 CQ＝x，则 DQ＝CD﹣CQ＝1﹣x，CE＝1﹣m，在 Rt△ECQ中，由勾股定理可得出（1﹣m）2+x2 ＝（1﹣x+m）2，从而求得结果； 1 （3）可证得 PN＝PC，△ABE∽△ECP，设 BE＝x，则 EC＝1﹣x，从而得出 = ，进一步得出结 1 果． 【解答】解：（1）如图 1， 延长 CD至 T，使 DT＝BE， ∵四边形 ABCD是正方形， ... ...
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