北京市海淀区2025-2026学年高二下学期期末数学试题 (扫描版，含答案)

海淀区 2026 年高二年级学业水平调研 数学参考答案 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） （1）C （2）A （3）C （4）C （5）D （6）D （7）C （8）B （9）B （10）B 二、填空题（共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） （11）15 （12）1 1 （ ） ( )n13 (答案不唯一) （14） (0, + )， ( 1, 1) 2 （15）② ④ 三、解答题（共 4 小题，共 40 分） （16）（） 解：（Ⅰ）由题意可得 f (x) = 3x2 3 = 3(x 1)(x +1) ， 解方程 f (x) = 0，可得 x1 1或 x2 1， 当 x 变化时，在各区间上的正负情况，以及 f (x)的单调性如下表所示． x ( , 1) 1 ( 1, 1) 1 (1, + ) f (x) + 0 0 + f (x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以函数 f (x)单调递增区间为 ( , 1]和[1, + ) ，单调递减区间为[ 1, 1]． ………………6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， f (x)在[ 1,1]上单调递减， f (x)在[1,4]上单调递增且 f (x)在 x 1 处取得极小值 f (1) 1． 又因为 f ( 1) = 3， f (4) = 53， 所以当 x 1时， f (x)取得最小值 1；当 x 4时， f (x)取得最大值53． ………………9 分 高二数学 参考答案 第 1 页（共 6 页） （17）（） 解：（Ⅰ）根据题中数据，试验一共选取了100粒太空辣椒种子，其中发芽的种子数为90 90 粒，因此估计这批太空辣椒种子发芽的概率为 = 0.9 ． 100 ………………2 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，这批太空辣椒种子发芽的概率为0.9 ，随机选取3粒新种子进 行发芽实验，发芽的种子数 X 的取值范围是 0, 1, 2, 3 ． P(X = 0) = C03 (0.9) 0 (0.1)3 = 0.001， P(X =1) = C13 (0.9) (0.1) 2 = 0.027， P(X = 2) = C23 (0.9) 2 (0.1) = 0.243， P(X = 3) = C33 (0.9) 3 (0.1)0 = 0.729， 因此 X 的分布列如下表所示． X 0 1 2 3 P 0.001 0.027 0.243 0.729 所以 E(X ) = 0 0.001+1 0.027+ 2 0.243+3 0.729 = 2.7． 或 X B(3, 0.9)， E(X ) = 3 0.9 = 2.7． ………………8分 （Ⅲ）①③． ………………10分 （18）（） 1 ln(1+ x) 解：（Ⅰ）函数定义域为 ( 1, + )， f (x) = ． (1+ x)2 1 ln1 f (0) = 0， f (0) = =1， 12 切线方程为 y = x ． ………………4分 （Ⅱ）方法一： 对任意的 x [0,+ )，都有 f (x)≤kx，也就是对任意的 x [0,+ )， 高二数学 参考答案 第 2 页（共 6 页） ln(1+x) 都有 ≤ kx，即对任意的 x [0,+ )，都有 ln(1+x)≤kx(1+x)． 1+ x ① 当 k≤0时，因为对任意的 x (0,+ )， ln(1+x) 0， kx(1+x)≤0． 即 ln(1+ x) kx(1+ x) ，不满足题意． 设 g(x) = ln(1+x) kx(1+x) = ln(1+x) kx2 kx ， 2kx2 3kx k +1 则 g (x) = ． 1+ x ② 当0 k 1时， 设 h(x) = 2kx2 3kx k +1． 令 h(x) = 0 ，判别式Δ = k 2 + 8k 0， k +1 故 h(x) = 0 有两个实数根，设为 x1 ， x2 ，则 x1x2 = 0． 2k 故不妨设 x1 0 x2 ． 故对任意的 x (0, x ) ，都有 h(x) 0 ，所以 g (x) 02 ， 则 g(x) 在区间 (0, x2 )上是增函数，所以 g(x2 ) g(0) = 0． 故 0 k 1时不满足题意． ③ 当 k≥1时， 对任意的 x [0,+ )，有 2kx2 ≤0 , 3kx≤0 ， k +1≤0， 所以 2kx2 3kx k +1≤0，故 g (x)≤0，则 g(x) 在[0,+ ) 上单调递减 因此对任意的 x [0,+ )， g(x)≤g(0) = 0，故满足题意． 综上， k 的最小值为1． ………………9分 高二数学 参考答案 第 3 页（共 6 页） （Ⅱ）方法二： ln(1+x) ①当 k≤0时，对任意的 x (0,+ )， ln(1+x) 0，1+ x 0，则 0 1+ x 且 kx≤0，则 f (x) kx ，不满足题意． ln(1+ x) 1 ln(1+ x) k(1+ x) 2 令 g(x) = kx ，则 g (x) = 2 ． 1+ x (1+ x) ②当 k≥1时，对任意的 x [0,+ )，有 k(1+ x)2 ≤ 1， ln (1+ x)≤0 ， 则1 ln(1+ x) k(1+ x)2 ≤0． 所以 g (x)≤0，当且仅当 x = 0时， g (x) = 0． 所以 g(x)在[0,+ ) 单调递减， g(x ... ...